>>269の続き

次に B がC^∞級のテンソル場であることを証明する。

(x_1, ..., x_n) を p の開近傍 U での局所座標とする。

>>253より、M 上のベクトル場 Y_1, ..., Y_n で p のある開近傍 V (V ⊂ U) 上で
∂/∂x_i = Y_i, i = 1, ..., n となるものが存在する。

V 上で、B_q((∂/∂x_1)_q, ..., (∂/∂x_n)_q) = B(Y_1, ... Y_r)(q) であるから
V 上のベクトル場 q → B_q((∂/∂x_1)_q, ..., (∂/∂x_n)_q) はC^∞級である。
よって、B はC^∞級の(1, r)型テンソル場である。

任意のベクトル場 X_1, ... X_r に対して、B の作り方から、
B_p((X_1)_p, ... (X_r)_p) = A(X_1, ... X_r)(p) となる。

よって、B(X_1, ... X_r) = A(X_1, ... X_r) となる。
これで B の存在が証明された。
証明終