命題
M を n 次元多様体とする。
A を X(M)^r から X(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像とする。

このとき、(1, r) 型のテンソル場 B が一意に存在し、
任意のベクトル場 X_1, ... X_r に対して、
B(X_1, ... X_r) = A(X_1, ... X_r) となる。

ここで、B(X_1, ... X_r) は>>263で定義したものである。

証明
>>259と同様であるが一応証明する。

B の一意性は>>268で証明されているので B の存在を証明すればよい。

p を M の任意の点とする。
v_1, ..., v_n を p における接ベクトルとする。

>>256より M 上のベクトル場 X_1, ..., X_n が存在し、
X_i = v_i, i = 1, ..., n となる。

B_p(v_1, ..., v_n) = A(X_1, ... X_r)(p) とおく。

>>267より、B_p(v_1, ..., v_n) は ベクトル場 X_1, ..., X_n の選び方によらない。

(v_1, ..., v_n) → B_p(v_1, ..., v_n) は明らかに T_p(M) 上の
(1, r) 型のテンソル(>>203, >>261)である。
ここで、T_p(M) は p における M の接空間である。

(続く)