命題
M を多様体とする。
A を (1, r) 型のテンソル場(>>203)とする。

>>261より、各点 p ∈ M において A_p は
T_p(M)^r から T_p(M) への R 上の多重線型写像と見なせる。

X_1, ..., X_r ∈ X(M) と p ∈ M に対して
A(X_1, ..., X_n)_p = A_p((X_1)_p, ..., (X_r)_p) と書く。

A(X_1, ..., X_n) は M 上の（C^∞(M)級の）ベクトル場である。

証明
U を M の座標近傍で (x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。

ベクトル場 X_k は U 上で X_k = Σξ_k_i(∂/∂x_i) と書ける。
ここで、各ξ_k_i は U 上でC^∞(M)級である。

p ∈ U のとき、A_p(∂/∂x_(i_1), ..., ∂/∂x_(i_r)) ∈ T_p(M) であるから
A_p(∂/∂x_(i_1), ..., ∂/∂x_(i_r)) = Ση_(j, i_1, ..., i_r)(p)(∂/∂x_j)_p
と書ける。
ここで、各η_(j, i_1, ..., i_r) は U 上でC^∞(M)級である。

よって、
U 上で、
A(X_1, ..., X_r) = Σξ_k_(i_1)...ξ_k_(i_r)A(∂/∂x_(i_1), ..., ∂/∂x_(i_r))
= Σξ_k_(i_1)...ξ_k_(i_r)η_(j, i_1, ..., i_r)(∂/∂x_j)

ここで、和は添え字の組 (i_1, ..., i_r), 1 ≦ i_1, ..., i_r ≦ n 全体と
1 ≦ j ≦ n を動く。
よって、A(X_1, ..., X_r) は M 上でC^∞(M)級である。
証明終