補題
M を n 次元多様体とする。
p を M の点とし、U を p の開近傍とする。
X を U 上のベクトル場とする。

このとき p の開近傍 V ⊂ U と M 上のベクトル場が存在し、
V 上で X = Y となる。

証明
p の開近傍 W で W~ ⊂ U となるものをとる。
過去スレ014の748より、
p の開近傍 V で V~ ⊂ W となるものと、M 上のC^∞級関数 f で
以下の条件を満たすものが存在する。

1) 0 ≦ f ≦ 1

2) V~ 上で f = 1

3) M - W で f = 0

M 上のベクトル場 Y を

a) p ∈ U のとき Y_p = f(p)X_p

b) p ∈ M - W~ のとき Y_p = 0

により定義する。

p ∈ U - W~ のとき f(p) = 0 であるから、上記の定義に矛盾はない。
Y は U 及び開集合 M - W~ でC^∞級であるから M 全体でC^∞級である。
V 上で f = 1 であるから V 上で X = Y となる。
証明終