K を実数体または複素数体とする。
U を K^n (r ≧ 1)の開集合とし、f: U → K をC^r (r ≧ 1)級写像
(過去スレ014の798と813)とする。

p ∈ U
v_i ∈ K^n, 1 ≦ i ≦ r とし、
v_i = (v_(i, 1), ..., v_(i, n)) とする。
x = (x_1, ..., x_n) は U の一般点を表すとする。

(d^r)f(p)(v_1, v_2, ..., v_r)
= Σ(∂^rf/∂x_(i_1)∂x_(i_2)...∂x_(i_r))(p)v_(1, i_1)...v_(r, i_r)
を r に関する帰納法により証明する。
ここで、Σ は 1 ≦ i_1, ..., i_r ≦ n となる組 (i_1, ..., i_r) 全体に渡る。

>>4と同様に、

df(p)v_1 = (∂f/∂x_1)(p)v_(1, 1) + ... + (∂f/∂x_n)(p)v_(1, n)
= Σ(∂f/∂x_(i_1))(p)v_(1, i_1)

よって、 r = 1 のときは成り立つ。

r ≧ 2 として、
(d^(r-1))f(p)(v_2, ..., v_r)
= Σ(∂^rf/∂x_(i_2)...∂x_(i_r)))(p)v_(2, i_2)...v_(r, i_r)
を仮定する。

(d^r)f(p)(v_1, v_2, ..., v_r)
= d((d^(r-1))f(x)(v_2, ..., v_r))(p)(v_1)
= d(Σ(∂^rf/∂x_(i_1)...∂x_(i_(r-1)))(p)v_(2, i_1)...v_(r, i_r)(p)(v_1)
= Σ(∂^rf/∂x_(i_1)∂x_(i_2)...∂x_(i_r))(p)v_(1, i_1)...v_(r, i_r)

よって、任意の r ≧ 1 に対して成り立つ。