命題
M を多様体とする。
A を (0, r) 型のテンソル場(>>203)とする。
X_1, ..., X_r ∈ X(M) に対して A(X_1, ..., X_r) (>>248) はC^∞(M)級である。

証明
U を M の座標近傍で (x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。

ベクトル場 X_k は U 上で X_k = Σξ_k_i(∂/∂x_i) と書ける。
各ξ_k_i は U 上でC^∞(M)級である。

U 上で、
A(X_1, ..., X_r) = Σξ_k_(i_1)...ξ_k_(i_r)A(∂/∂x_(i_1), ..., ∂/∂x_(i_r))
ここで、和は添え字の組 (i_1, ..., i_r), 1 ≦ i_1, ..., i_r ≦ n 全体を動く。

A(∂/∂x_(i_1), ..., ∂/∂x_(i_r)) は U 上でC^∞(M)級であるから
A(X_1, ..., X_r) は U 上でC^∞(M)級である。
証明終