補題
M を n 次元多様体とする。
M の点 p に p における接ベクトル X_p を対応させる写像 X を考える。
f ∈ C^∞(M) (>>236) に対して M 上の実数値関数 Xf を (Xf)(p) = X_p(f) により
定義する。

このとき、任意の f ∈ C^∞(M) に対して Xf ∈ C^∞(M) であれば、
X はC^∞級ベクトル場である。

証明
p を M の任意の点とする。
U を p ∈ U となる M の座標近傍で (x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。
U 上で X = Σξ_i(∂/∂x_i) と書ける。

j を 1 ≦ j ≦ n となる任意の整数とする。

>>239より、p の開近傍 V で V~ ⊂ U となるものと(V~ は V の閉包)、
M 上のC^∞級関数 g_j で V 上で x_j = g_j となるものが存在する。

V 上で X(g_j) = Σξ_i(∂g_j/∂x_i) = ξ_j となる。
よって、ξ_j は V 上でC^∞級である。
j は任意であるから X は V 上でC^∞級である。

p は M の任意の点であるから X は M 上でC^∞級である。
証明終