補題
M を n 次元多様体とする。
C^∞(M) は 実数体 R 上の結合的な代数である(>>236)。
D を C^∞(M) の微分(>>212)とする。
f を C^∞(M) の元で M の開集合 U 上で 0 とする。

このとき、D(f) も U 上で 0 である。

証明
p を U の任意の点とする。
過去スレ014の748より、
p の開近傍 V で V~ ⊂ U となるものと、M 上のC^∞級関数 h で
以下の条件を満たすものが存在する。

a) 0 ≦ h ≦ 1

b) V~ 上で h = 1

c) M - U で h = 0

g = 1 - h とおく。

gf は U 上で 0 であるから U 上で gf = f である。
g は M - U で 1 であるから M - U で gf = f である。
よって、M 上で gf = f である。

よって、D(f) = D(g)f + gD(f)

f(p) = g(p) = 0 であるから D(f)(p) = 0 である。

p は U の任意の点であるから D(f) は U 上で 0 である。
証明終