M を n 次元多様体とする。
T(1, 0)(M) (>>234)は M 上の C^∞級のベクトル場全体である。
これを X(M) とも書く。

X ∈ X(M) と f ∈ C^∞(M) (>>236) に対して、
Xf ∈ C^∞(M) を p ∈ M のとき (Xf)(p) = X_p(f) により定義する。
(U, ψ) を M の座標近傍とし、(x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。
X は U 上で X = Σξ(x_1, ..., x_n)∂/∂x_i と書ける。
よって、U 上で、Xf = Σξ(x_1, ..., x_n)∂f/∂x_i
よって、Xf ∈ C^∞(M) である。

f, g ∈ C^∞(M) に対して、明らかに、
X(fg) = X(f)g + fX(g)
となる。

即ち、f → Xf は C^∞(M) の微分(>>212)である。
この微分を D_X と書く。