代数的整数論 015
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0001１３２人目の素数さん
2009/10/13(火) 07:14:18Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
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0232Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/08(日) 19:33:45E と F を可換環 K 上の加群とする。
T(E)と T(F) を K 上のテンソル代数(>>223)とする。
ψ: T(E) → T(F) を K 上の代数としての同型とする。
さらに ψ はテンソルの型を保存し、縮約と可換であるとする。
このとき K-加群としての同型 σ: E → F で、ψ = T(σ) となるものが一意に存在する。
ここで、T(σ) は>>231で定義したものである。
証明
ψ(E) = F であるから ψ は K-加群としての同型 σ: E → F を引き起こす。
v ∈ E, w^* ∈ E^* のとき、
ψ(v※w^*) = ψ(v)※ψ(w^*) = σ(v)※ψ(w^*)
よって、
Cψ(v※w^*) = <σ(v), ψ(w^*)>
他方、
ψC(v※w^*) = ψ(<v, w^*>) = <v, w^*>
ψ は縮約と可換であるから、
<σ(v), ψ(w^*)> = <v, w^*>
よって、
<v, σ^*ψ(w^*)> = <v, w^*>
よって、ψ(w^*) = σ^(w^*) である。
即ち、ψは K-加群としての同型 σ^: E^* → F^* を引き起こす。
T(E) は K-代数として K 上 E と E^* で生成されるから
ψ = T(σ) である。
σ の一意性は明らかである。
証明終
0233Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/08(日) 19:55:12M を n 次元多様体とする。
T(r, s)(M) を M 上の (r, s) 型のテンソル場(>>203)全体の集合とする。
T(r, s)(M) は実数体 R 上の加群である。
T(M) = ΣT(r, s)(M) (直和) とおく。
ここで (r, s) は (Z+)×(Z+) の元全体を動く。
ただし、 Z+ は整数 n ≧ 0 全体の集合である。
A ∈ T(r, s)(M), B ∈ T(p, q)(M) のとき
A※B ∈ T(r+p, s+q)(M) を x ∈ M のとき、(A※B)_x = (A_x)※(B_x) で定義する。
A※B を A と B のテンソル積と呼ぶ。
テンソル積を線型に拡張して、T(M) は R 上の結合的な代数となる。
T(M) を M 上のテンソル代数と呼ぶ。
0234Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/08(日) 20:04:53M を n 次元多様体とする。
整数 r, s ≧ 1 が与えられたとき、1 ≦ i ≦ r, 1 ≦ j ≦ s となる
整数の組 (i, j) を一つ固定する。
T(r, s)(M) を M 上の (r, s) 型のテンソル場(>>203)全体の集合とする。
A ∈ T(r, s)(M) のとき A の縮約 C(i, j)A を
x ∈ M に対して (C(i, j)A)_x = C(i, j)A_x により定義する。
ここで、C(i, j)A_x は A_x の縮約(>>207)である。
0235Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/08(日) 20:10:42M を n 次元多様体とする。
T(M) を M 上のテンソル代数(>>233)とする。
T(M) の微分(>>212) D で以下の条件を満たすものを M 上のテンソル微分と呼ぶ。
1) D はテンソルの型を保存する。
即ち、任意の整数 r, s ≧ 0 に対して D(T(r, s)(E)) ⊂ T(r, s)(E)
2) D は任意の縮約(>>234)と可換である。
0236Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/08(日) 20:21:22M 上のテンソル微分(>>235)を決定することを当面の目標とする。
T(0, 0)(M) (>>234)は M 上の C^∞級の実数値関数全体である。
これを C^∞(M) とも書く。
C^∞(M) は 実数体 R 上の結合的な代数である。
D を M 上のテンソル微分とする。
D(C^∞(M)) ⊂ C^∞(M) であるから D は C^∞(M) の微分を引き起こす。
従って、まず C^∞(M) の微分を調べよう。
0237Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/08(日) 20:33:20>>233では M 上のテンソル代数を T(M) と書いたが、
これは後に述べる接束(tangent bundle)と紛らわしいので
T(*,*)(M) と書くことにする。
0238Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/08(日) 20:56:28T(1, 0)(M) (>>234)は M 上の C^∞級のベクトル場全体である。
これを X(M) とも書く。
X ∈ X(M) と f ∈ C^∞(M) (>>236) に対して、
Xf ∈ C^∞(M) を p ∈ M のとき (Xf)(p) = X_p(f) により定義する。
(U, ψ) を M の座標近傍とし、(x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。
X は U 上で X = Σξ(x_1, ..., x_n)∂/∂x_i と書ける。
よって、U 上で、Xf = Σξ(x_1, ..., x_n)∂f/∂x_i
よって、Xf ∈ C^∞(M) である。
f, g ∈ C^∞(M) に対して、明らかに、
X(fg) = X(f)g + fX(g)
となる。
即ち、f → Xf は C^∞(M) の微分(>>212)である。
この微分を D_X と書く。
0239Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/08(日) 21:26:53h を多様体 M の点 p の開近傍 U で定義されたC^∞級関数とする。
p の開近傍 V で V~ ⊂ U となるものと(V~ は V の閉包)、M 上のC^∞級関数 g で
次の条件を満たすものが存在する。
1) V 上で h = g
2) M - U で g = 0
証明
p の開近傍 W を W~ ⊂ U となるようにとる。
過去スレ014の748より、
p の開近傍 V で V~ ⊂ W となるものと、M 上のC^∞級関数 f で
以下の条件を満たすものが存在する。
a) 0 ≦ f ≦ 1
b) V~ 上で f = 1
c) M - W で f = 0
そこで、M 上の関数 g を
p ∈ U のとき g(p) = f(p)h(p)
p ∈ M - U のとき g(p) = 0
と定義する。
g は U 上で fh に等しいから U 上で C^∞級である。
g は M - W~ で 0 であるから M - W~ 上で C^∞級である。
よって、g は M 上で C^∞級である。
証明終
0240Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/08(日) 22:09:11M を n 次元多様体とする。
C^∞(M) は 実数体 R 上の結合的な代数である(>>236)。
C^∞(M) の微分(>>212)全体を Der(C^∞(M)) と書いた(>>221)
このとき、X ∈ X(M) (>>238) に D_X ∈ Der(C^∞(M)) を対応させる写像は単射である。
証明
D_X = 0 と仮定して X = 0 を証明すればよい。
p を M の任意の点とする。
f を p の任意の開近傍 U で定義された任意のC^∞級関数とする。
>>239より、p の開近傍 V で V~ ⊂ U となるものと、M 上のC^∞級関数 g で
V 上で f = g となるものが存在する。
よって、X_p(f) = X_p(g) である。
他方、X_p(g) = (Xg)(p) = 0 である。
仮定より、Xg = 0 であるから、X_p(g) = 0 である。
よって、X_p(f) = 0 である。
よって、X_p = 0 である。
p は M の任意の点であるから M 上で X = 0 である。
証明終
0241Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/08(日) 22:23:07>他方、X_p(g) = (Xg)(p) = 0 である。
他方、X_p(g) = (Xg)(p) である。
0242Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/08(日) 22:36:37M を n 次元多様体とする。
C^∞(M) は 実数体 R 上の結合的な代数である(>>236)。
D を C^∞(M) の微分(>>212)とする。
f を C^∞(M) の元で M の開集合 U 上で 0 とする。
このとき、D(f) も U 上で 0 である。
証明
p を U の任意の点とする。
過去スレ014の748より、
p の開近傍 V で V~ ⊂ U となるものと、M 上のC^∞級関数 h で
以下の条件を満たすものが存在する。
a) 0 ≦ h ≦ 1
b) V~ 上で h = 1
c) M - U で h = 0
g = 1 - h とおく。
gf は U 上で 0 であるから U 上で gf = f である。
g は M - U で 1 であるから M - U で gf = f である。
よって、M 上で gf = f である。
よって、D(f) = D(g)f + gD(f)
f(p) = g(p) = 0 であるから D(f)(p) = 0 である。
p は U の任意の点であるから D(f) は U 上で 0 である。
証明終
0243Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 00:02:35M を n 次元多様体とする。
M の点 p に p における接ベクトル X_p を対応させる写像 X を考える。
f ∈ C^∞(M) (>>236) に対して M 上の実数値関数 Xf を (Xf)(p) = X_p(f) により
定義する。
このとき、任意の f ∈ C^∞(M) に対して Xf ∈ C^∞(M) であれば、
X はC^∞級ベクトル場である。
証明
p を M の任意の点とする。
U を p ∈ U となる M の座標近傍で (x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。
U 上で X = Σξ_i(∂/∂x_i) と書ける。
j を 1 ≦ j ≦ n となる任意の整数とする。
>>239より、p の開近傍 V で V~ ⊂ U となるものと(V~ は V の閉包)、
M 上のC^∞級関数 g_j で V 上で x_j = g_j となるものが存在する。
V 上で X(g_j) = Σξ_i(∂g_j/∂x_i) = ξ_j となる。
よって、ξ_j は V 上でC^∞級である。
j は任意であるから X は V 上でC^∞級である。
p は M の任意の点であるから X は M 上でC^∞級である。
証明終
0244Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 00:21:44M を n 次元多様体とする。
D を C^∞(M) (>>236)の微分(>>212)とする。
このとき D_X = D となる M 上のC^∞級ベクトル場 X が一意に存在する。
ここで、D_X は>>238で定義したものである。
証明
p を M の任意の点とする。
h を p の開近傍 U で定義されたC^∞級の実数値関数とする。
>>239より、M 上のC^∞級関数 f で p のある開近傍上で h = f となるものが存在する。
X_p(h) = D(f)(p) とおく。
>>242より、X_p(h) は f のとり方によらない。
D は微分だから X_p は p における接ベクトルである。
>>243より X はC^∞級ベクトル場である。
f ∈ C^∞(M) のとき Xf(p) = X_p(f) = D(f)(p)
よって、Xf = D(f)
即ち D_X = D である。
X の一意性は>>240で証明されている。
証明終
0245Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 00:34:34M を n 次元多様体とする。
X と Y を M 上のベクトル場とする。
D_X と D_Y (>>238) は C^∞(M) (>>236)の微分であるから
>>213より [D_X, D_Y] = D_XD_Y - D_YD_X も C^∞(M) (>>236)の微分である。
よって、>>244より、D_Z = [D_X, D_Y] となるベクトル場 Z が一意に存在する。
Z を [X, Y] と書き、X と Y のブラケット積という。
0246Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 07:48:11>>244と>>245より、X(M) (>>238) はブラケット積(>>245)により R 上のLie代数となる。
写像 X → D_X はLie代数としての X(M) と Der(C^∞(M)) の同型である。
0247Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 08:19:29X を M 上のベクトル場とし、f を C^∞(M) (>>236) の元とする。
p ∈ M のとき f(p)X_p は p における接ベクトルである。
ベクトル場 p → f(p)X_p は明らかにC^∞級である。
これを fX と書く。
(f, X) → fX により X(M) (>>238) は可換環 C^∞(M) 上の加群になる。
0248Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 08:37:49M を多様体とする。
A を (0, r) 型のテンソル場(>>203)とする。
X_1, ..., X_r ∈ X(M) に対して M 上の実数値関数 f を
f(p) = A_p((X_1)_p, ..., (X_r)_p) により定義する。
f を A(X_1, ..., X_r) と書く。
即ち、A(X_1, ..., X_r)(p) = A_p((X_1)_p, ..., (X_r)_p) である。
0249Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 08:49:53M を多様体とする。
A を (0, r) 型のテンソル場(>>203)とする。
X_1, ..., X_r ∈ X(M) に対して A(X_1, ..., X_r) (>>248) はC^∞(M)級である。
証明
U を M の座標近傍で (x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。
ベクトル場 X_k は U 上で X_k = Σξ_k_i(∂/∂x_i) と書ける。
各ξ_k_i は U 上でC^∞(M)級である。
U 上で、
A(X_1, ..., X_r) = Σξ_k_(i_1)...ξ_k_(i_r)A(∂/∂x_(i_1), ..., ∂/∂x_(i_r))
ここで、和は添え字の組 (i_1, ..., i_r), 1 ≦ i_1, ..., i_r ≦ n 全体を動く。
A(∂/∂x_(i_1), ..., ∂/∂x_(i_r)) は U 上でC^∞(M)級であるから
A(X_1, ..., X_r) は U 上でC^∞(M)級である。
証明終
0250Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 08:52:31>X_1, ..., X_r ∈ X(M) に対して A(X_1, ..., X_r) (>>248) はC^∞(M)級である。
X_1, ..., X_r ∈ X(M) に対して A(X_1, ..., X_r) (>>248) はC^∞級である。
0251Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 08:57:43>>247より、X(M) (>>238) は可換環 C^∞(M) 上の加群になる。
A を (0, r) 型のテンソル場(>>203)とする。
X_1, ..., X_r ∈ X(M) に対して A(X_1, ..., X_r) (>>248, >>249) を対応させる写像は、
X(M)^r から C^∞(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像である。
逆に、X(M)^r から C^∞(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像は (0, r) 型のテンソル場に
対応することを証明しよう。
0252Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 11:16:08M を n 次元多様体とする。
A を X(M)^r から C^∞(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像とする。
X_1, ... X_r を M 上のベクトル場とする。
i を 1 ≦ i ≦ r となる整数とする。
このとき、X_i が M の開集合 U 上で 0 なら関数 A(X_1, ... X_r) も U 上で 0 である。
証明
p を U の任意の点とする。
過去スレ014の748より、
f ∈ C^∞(M) で f(p) = 0 かつ M - U 上で f = 1 となるものが存在する。
fX_i 及び X_i は U 上で 0 である。
M - U 上で f = 1 であるから M - U 上で fX_i = X_i である。
よって M 上で fX_i = X_i である。
よって、
A(X_1, ..., fX_i, ..., X_r) = fA(X_1, ... X_r) = A(X_1, ... X_r) となる。
よって、A(X_1, ... X_r)(p) = f(p)A(X_1, ... X_r)(p) = 0 である。
p は U の任意の点であるから A(X_1, ... X_r) は U 上で 0 である。
証明終
0253Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 13:21:12M を n 次元多様体とする。
p を M の点とし、U を p の開近傍とする。
X を U 上のベクトル場とする。
このとき p の開近傍 V ⊂ U と M 上のベクトル場が存在し、
V 上で X = Y となる。
証明
p の開近傍 W で W~ ⊂ U となるものをとる。
過去スレ014の748より、
p の開近傍 V で V~ ⊂ W となるものと、M 上のC^∞級関数 f で
以下の条件を満たすものが存在する。
1) 0 ≦ f ≦ 1
2) V~ 上で f = 1
3) M - W で f = 0
M 上のベクトル場 Y を
a) p ∈ U のとき Y_p = f(p)X_p
b) p ∈ M - W~ のとき Y_p = 0
により定義する。
p ∈ U - W~ のとき f(p) = 0 であるから、上記の定義に矛盾はない。
Y は U 及び開集合 M - W~ でC^∞級であるから M 全体でC^∞級である。
V 上で f = 1 であるから V 上で X = Y となる。
証明終
0254Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 18:12:43M を n 次元多様体とする。
A を X(M)^r から C^∞(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像とする。
X_1, ... X_r を M 上のベクトル場とする。
p を M の点とする。
このとき、(X_1)_p = 0 なら A(X_1, ... X_r)(p) = 0 である。
証明
(x_1, ..., x_n) を p の開近傍 U での局所座標とする。
U 上で X_1 = Σξ_i(∂/∂x_i) とする。
>>239と>>253より、M 上のC^∞級関数 f_1, ..., f_n と
ベクトル場 Y_1, ..., Y_n で p のある開近傍 V (V ⊂ U) 上で
ξ_i = f_i, i = 1, ..., n
∂/∂x_i = Y_i, i = 1, ..., n
となるものが存在する。
よって、V 上で X_1 = Σf_iY_i となる。
よって、>>252より、V 上で A(X_1, ... X_r) = Σf_iA(Y_i, ... X_r)
一方、(X_1)_p = 0 だから ξ_i(p) = 0, i = 1, ..., n である。
よって、f_i(p) = 0, i = 1, ..., n である。
よって、A(X_1, ... X_r)(p) = 0 である。
証明終
0255Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 18:19:01>このとき p の開近傍 V ⊂ U と M 上のベクトル場が存在し、
>V 上で X = Y となる。
このとき p の開近傍 V ⊂ U と M 上のベクトル場 Y が存在し、
V 上で X = Y となる。
0256Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 18:20:22M を n 次元多様体とする。
p を M の点とする。
v を p における任意の接ベクトルとする。
このとき M 上のベクトル場 X が存在し、X_p = v となる。
証明
(x_1, ..., x_n) を p の開近傍 U での局所座標とする。
v = Σa_i(∂/∂x_i)_p とする。ここで a_i, i = 1, ..., n は実数である。
Y = Σa_i(∂/∂x_i) は U における C^∞級ベクトル場である。
>>253より、p の開近傍 V (V ⊂ U) と M 上のベクトル場 X が存在し、
V 上で Y = X となる。
X_p = v である。
証明終
0257Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 22:35:52M を n 次元多様体とする。
A を X(M)^r から C^∞(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像とする。
X_1, ... X_r と Y_1, ..., Y_r を M 上のベクトル場とする。
p を M の点とする。
(X_i)_p = (Y_i)_p, i = 1, ..., n なら
A(X_1, ... X_r)(p) = A(Y_1, ... Y_r)(p) である。
証明
(X_1 - Y_1)_p = 0 である。
よって、>>254より、
A(X_1 - Y_1, ... X_r)(p) = 0 となる。
一方、
A(X_1 - Y_1, ... X_r) = A(X_1, ... X_r) - A(Y_1, X_2, ... X_r)
よって、A(X_1, ... X_r)(p) = A(Y_1, X_2, ... X_r)(p)
(X_2 - Y_2)_p = 0 である。
よって、>>254と同様にして、
A(Y_1, X_2 - Y_2, ... X_r)(p) = 0 となる。
A(Y_1, X_2 - Y_2, ... X_r) = A(Y_1, X_2, ... X_r) - A(Y_1, Y_2, X_3, ... X_r)
よって、
A(Y_1, X_2, ... X_r)(p) = (Y_1, Y_2, X_3, ... X_r)(p)
同様にして、
A(X_1, ... X_r)(p) = A(Y_1, ... Y_r)(p) である。
証明終
0258Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 23:22:37M を n 次元多様体とする。
A と B を (0, r) 型のテンソル場(>>203)とする。
任意のベクトル場 X_1, ... X_r に対して、
A(X_1, ... X_r) = B(X_1, ... X_r) であるなら A = B である。
ここで、A(X_1, ... X_r) と B(X_1, ... X_r) は>>248で定義したものである。
証明
p を M の任意の点とする。
v_1, ..., v_n を p における接ベクトルとする。
>>256より M 上のベクトル場 X_1, ..., X_n が存在し、
X_i = v_i, i = 1, ..., n となる。
仮定より、A(X_1, ... X_r) = B(X_1, ... X_r) であるから、
A_p((X_1)_p, ..., (X_r)_p) = B_p((X_1)_p, ..., (X_r)_p) となる。
即ち、
A_p(v_1, ..., v_n) = B_p(v_1, ..., v_n) となる。
よって、A_p = B_p である。
よって A = B である。
証明終
0259Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 23:24:51M を n 次元多様体とする。
A を X(M)^r から C^∞(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像とする。
このとき、(0, r) 型のテンソル場 B が一意に存在し、
任意のベクトル場 X_1, ... X_r に対して、
B(X_1, ... X_r) = A(X_1, ... X_r) となる。
ここで、B(X_1, ... X_r) は>>248で定義したものである。
証明
B の一意性は>>258で証明されているので B の存在を証明すればよい。
p を M の任意の点とする。
v_1, ..., v_n を p における接ベクトルとする。
>>256より M 上のベクトル場 X_1, ..., X_n が存在し、
X_i = v_i, i = 1, ..., n となる。
B_p(v_1, ..., v_n) = A(X_1, ... X_r)(p) とおく。
>>257より、B_p(v_1, ..., v_n) は ベクトル場 X_1, ..., X_n の選び方によらない。
(v_1, ..., v_n) → B_p(v_1, ..., v_n) は明らかに T_p(M) 上の
(0, r) 型のテンソル(>>198)である。
ここで、T_p(M) は p における M の接空間である。
(続く)
0260Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 23:25:54次に B がC^∞級のテンソル場であることを証明する。
(x_1, ..., x_n) を p の開近傍 U での局所座標とする。
>>253より、M 上のベクトル場 Y_1, ..., Y_n で p のある開近傍 V (V ⊂ U) 上で
∂/∂x_i = Y_i, i = 1, ..., n となるものが存在する。
V 上で、B_q((∂/∂x_1)_q, ..., (∂/∂x_n)_q) = B(Y_1, ... Y_r)(q) であるから
V 上で、関数 q → B_q((∂/∂x_1)_q, ..., (∂/∂x_n)_q) はC^∞級である。
よって、B はC^∞級のテンソル場である。
任意のベクトル場 X_1, ... X_r に対して、B の作り方から、
B_p((X_1)_p, ... (X_r)_p) = A(X_1, ... X_r)(p) となる。
よって、B(X_1, ... X_r) = A(X_1, ... X_r) となる。
これで B の存在が証明された。
証明終
0261Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/09(月) 23:48:47K を可換環とする。
E を有限生成の自由 K-加群とする。
T(1, r)(E) (>>215) は標準的に L(E^r, E) と同型である。
ここで L(E^r, E) は E^r から E への K 上の多重線型写像全体のなす K-加群である。
証明
E の双対加群 E^* = Hom(E, K) の r 個のテンソル積 (E^*)※...※(E^*) を
F とおく。
>>228と>>229より、T(1, r)(E) は標準的に E※F と同型である。
過去スレ014の288より、E※F と Hom(F^*, E) は標準的に同型である。
>>229より、F^* は E の r 個のテンソル積 E※...※E と標準的に同型である。
証明終
0262Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 08:29:04A を T(1, r)(E) (>>198, >>215) の元とする。
即ち、A は (E^*)×E^r から K へのK 上の多重線型写像である。
(v_1, ..., v_r) ∈ E^r に対して w^* → A(w^*, v_1, ..., v_r) は
(E^*)^* = E の元である。
この元を ψ(A)(v_1, ..., v_r) と書くことにする。
ψ(A) は L(E^r, E) の元である。
>>261より、A に ψ(A) を対応させる写像は
T(1, r)(E) から L(E^r, E) への同型である。
0263Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 10:30:46M を多様体とする。
A を (1, r) 型のテンソル場(>>203)とする。
>>261より、各点 p ∈ M において A_p は
T_p(M)^r から T_p(M) への R 上の多重線型写像と見なせる。
X_1, ..., X_r ∈ X(M) と p ∈ M に対して
A(X_1, ..., X_n)_p = A_p((X_1)_p, ..., (X_r)_p) と書く。
A(X_1, ..., X_n) は M 上の（C^∞(M)級の）ベクトル場である。
証明
U を M の座標近傍で (x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。
ベクトル場 X_k は U 上で X_k = Σξ_k_i(∂/∂x_i) と書ける。
ここで、各ξ_k_i は U 上でC^∞(M)級である。
p ∈ U のとき、A_p(∂/∂x_(i_1), ..., ∂/∂x_(i_r)) ∈ T_p(M) であるから
A_p(∂/∂x_(i_1), ..., ∂/∂x_(i_r)) = Ση_(j, i_1, ..., i_r)(p)(∂/∂x_j)_p
と書ける。
ここで、各η_(j, i_1, ..., i_r) は U 上でC^∞(M)級である。
よって、
U 上で、
A(X_1, ..., X_r) = Σξ_k_(i_1)...ξ_k_(i_r)A(∂/∂x_(i_1), ..., ∂/∂x_(i_r))
= Σξ_k_(i_1)...ξ_k_(i_r)η_(j, i_1, ..., i_r)(∂/∂x_j)
ここで、和は添え字の組 (i_1, ..., i_r), 1 ≦ i_1, ..., i_r ≦ n 全体と
1 ≦ j ≦ n を動く。
よって、A(X_1, ..., X_r) は M 上でC^∞(M)級である。
証明終
0264Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 10:35:26>>247より、X(M) (>>238) は可換環 C^∞(M) 上の加群になる。
A を (1, r) 型のテンソル場(>>203)とする。
X_1, ..., X_r ∈ X(M) に対して A(X_1, ..., X_r) (>>263) を対応させる写像は、
X(M)^r から X(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像である。
逆に、X(M)^r から X(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像は (1, r) 型のテンソル場に
対応することを証明しよう。
0265Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 10:38:55M を n 次元多様体とする。
A を X(M)^r から X(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像とする。
X_1, ... X_r を M 上のベクトル場とする。
i を 1 ≦ i ≦ r となる整数とする。
このとき、X_i が M の開集合 U 上で 0 ならベクトル場 A(X_1, ... X_r) も
U 上で 0 である。
証明
>>252と同様である。
0266Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 10:40:38M を n 次元多様体とする。
A を X(M)^r から X(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像とする。
X_1, ... X_r を M 上のベクトル場とする。
p を M の点とする。
このとき、(X_1)_p = 0 なら A(X_1, ... X_r)(p) = 0 である。
証明
>>254と同様である。
0267Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 10:44:02M を n 次元多様体とする。
A を X(M)^r から X(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像とする。
X_1, ... X_r と Y_1, ..., Y_r を M 上のベクトル場とする。
p を M の点とする。
(X_i)_p = (Y_i)_p, i = 1, ..., n なら
A(X_1, ... X_r)(p) = A(Y_1, ... Y_r)(p) である。
証明
>>257の証明において>>254の代わりに>>266を使用すればよい。
0268Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 10:47:14M を n 次元多様体とする。
A と B を (1, r) 型のテンソル場(>>203)とする。
任意のベクトル場 X_1, ... X_r に対して、
A(X_1, ... X_r) = B(X_1, ... X_r) であるなら A = B である。
ここで、A(X_1, ... X_r) と B(X_1, ... X_r) は>>263で定義したものである。
証明
>>258と同様である。
0269Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 11:03:39M を n 次元多様体とする。
A を X(M)^r から X(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像とする。
このとき、(1, r) 型のテンソル場 B が一意に存在し、
任意のベクトル場 X_1, ... X_r に対して、
B(X_1, ... X_r) = A(X_1, ... X_r) となる。
ここで、B(X_1, ... X_r) は>>263で定義したものである。
証明
>>259と同様であるが一応証明する。
B の一意性は>>268で証明されているので B の存在を証明すればよい。
p を M の任意の点とする。
v_1, ..., v_n を p における接ベクトルとする。
>>256より M 上のベクトル場 X_1, ..., X_n が存在し、
X_i = v_i, i = 1, ..., n となる。
B_p(v_1, ..., v_n) = A(X_1, ... X_r)(p) とおく。
>>267より、B_p(v_1, ..., v_n) は ベクトル場 X_1, ..., X_n の選び方によらない。
(v_1, ..., v_n) → B_p(v_1, ..., v_n) は明らかに T_p(M) 上の
(1, r) 型のテンソル(>>203, >>261)である。
ここで、T_p(M) は p における M の接空間である。
(続く)
0270Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 11:04:29次に B がC^∞級のテンソル場であることを証明する。
(x_1, ..., x_n) を p の開近傍 U での局所座標とする。
>>253より、M 上のベクトル場 Y_1, ..., Y_n で p のある開近傍 V (V ⊂ U) 上で
∂/∂x_i = Y_i, i = 1, ..., n となるものが存在する。
V 上で、B_q((∂/∂x_1)_q, ..., (∂/∂x_n)_q) = B(Y_1, ... Y_r)(q) であるから
V 上のベクトル場 q → B_q((∂/∂x_1)_q, ..., (∂/∂x_n)_q) はC^∞級である。
よって、B はC^∞級の(1, r)型テンソル場である。
任意のベクトル場 X_1, ... X_r に対して、B の作り方から、
B_p((X_1)_p, ... (X_r)_p) = A(X_1, ... X_r)(p) となる。
よって、B(X_1, ... X_r) = A(X_1, ... X_r) となる。
これで B の存在が証明された。
証明終
0271Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 11:45:39M を n 次元多様体とする。
T(*,*)(M) を M 上のテンソル代数(>>233, >>237)とする。
D を T(*, *)(M) の微分(>>212)とする。
A を M 上の(r, s)型のテンソル場(>>203)とする。
A が M の開集合 U 上で 0 とする。
このとき、D(A) も U 上で 0 である。
証明
>>242と同様であるが念のために証明する。
p を U の任意の点とする。
過去スレ014の748より、
p の開近傍 V で V~ ⊂ U となるものと、M 上のC^∞級関数 g で
以下の条件を満たすものが存在する。
a) 0 ≦ g ≦ 1
b) V~ 上で g = 1
c) M - U で g = 0
f = 1 - g とおく。
fA は U 上で 0 であるから U 上で A = fA である。
f は M - U で 1 であるから M - U で A = fA である。
よって、M 上で A = fA である。
よって、D(A) = D(fA) = D(f)A + fD(A)
f(p) = 0 かつ A_p = 0 であるから D(A)_p = 0 である。
p は U の任意の点であるから D(A) は U 上で 0 である。
証明終
0272Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 12:15:52M を n 次元多様体とする。
D をM 上のテンソル微分(>>235)とする。
D が C^∞(M) (>>236)及び X(M) (>>238) において 0 とする。
このとき D は T(1, 0)(M) においても 0 である。
証明
C : T(1, 1)(M) → T(0, 0)(M) = C^∞(M) を縮約(>>234)とする。
ω ∈ T(1, 0)(M) と Y ∈ T(0, 1)(M) = X(M) に対して
ω※Y ∈ T(1, 1)(M) であり、C(ω※Y) = ω(Y) ∈ C^∞(M) である。
D は C^∞(M) で 0 であるから、D(C(ω※Y)) = 0 である。
他方、D(C(ω※Y)) = C(D(ω※Y)) = C(D(ω)※Y) + C(ω※D(Y))
仮定より、D(Y) = 0 であるから、この右辺は C(D(ω)※Y) に等しい。
よって、C(D(ω)※Y) = 0
C(D(ω)※Y) = D(ω)(Y) であるから D(ω)(Y) = 0 である。
Y は任意であるから D(ω) = 0 である。
証明終
0273Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 12:35:21>このとき D は T(1, 0)(M) においても 0 である。
このとき D は T(0, 1)(M) においても 0 である。
>ω ∈ T(1, 0)(M) と Y ∈ T(0, 1)(M) = X(M) に対して
ω ∈ T(0, 1)(M) と Y ∈ T(1, 0)(M) = X(M) に対して
0274Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 12:36:05M を n 次元多様体とする。
p を M の点とし、U を p の開近傍とする。
ω を U 上の (0, 1) 型のテンソル場、即ち１次微分形式とする。
このとき p の開近傍 V ⊂ U と M 上の１次微分形式θが存在し、
V 上で ω = θ となる。
証明
>>253と同様であるが念のため証明する。
p の開近傍 W で W~ ⊂ U となるものをとる。
過去スレ014の748より、
p の開近傍 V で V~ ⊂ W となるものと、M 上のC^∞級関数 f で
以下の条件を満たすものが存在する。
1) 0 ≦ f ≦ 1
2) V~ 上で f = 1
3) M - W で f = 0
M 上の１次微分形式 θ を
a) p ∈ U のとき θ_p = f(p)ω_p
b) p ∈ M - W~ のとき θ_p = 0
により定義する。
p ∈ U - W~ のとき f(p) = 0 であるから、上記の定義に矛盾はない。
θ は U 及び開集合 M - W~ でC^∞級であるから M 全体でC^∞級である。
V 上で f = 1 であるから V 上で ω = θ となる。
証明終
0275Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 16:13:56M を n 次元多様体とする。
D をM 上のテンソル微分(>>235)とする。
D が C^∞(M) (>>236)及び X(M) (>>238) において 0 とする。
このとき D = 0 である。
証明
A を M 上の(r, s)型のテンソル場(>>203)とする。
p を M の任意の点とし、(x_1, ..., x_n) を p の開近傍 U での局所座標とする。
U 上で A は
ΣA(i_1, ..., i_r, j_1, ..., j_s)(∂/∂x_(i_1))...(∂/∂x_(i_r))dx_(j_1)...dx_(j_s)
と書ける。
ここで、テンソル積の記号 ※ は省略した。
>>253と>>274より、M 上のベクトル場 X_1, ..., X_n と
１次微分形式 ω_1, ..., ω_n が存在し、
p のある開近傍 V 上で ∂/∂x_i = X_i, dx_i = ω_i, i = 1, ..., n となる。
B = ΣA(i_1, ..., i_r, j_1, ..., j_s)X_(i_1))...X_(i_r)ω_(j_1)...ω_(j_s)
とおく。
A - B は V 上で 0 であるから >>271より、V 上で D(A) = D(B) である。
>>272より D(B) = 0 である。
よって、V 上で D(A) = 0 である。
特に D(A)_p = 0 である。
p は M の任意の点であるから D(A) = 0 である。
よって、D = 0 である。
証明終
0276Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 16:48:57M を n 次元多様体とする。
X を X(M) (>>238) の元とする。
任意の Y ∈ X(M) (>>238) に対して D(Y) = [X, Y] (>>245)とおく。
任意の f ∈ C^∞(M) と任意の Y ∈ X(M) に対して
D(fY) = X(f)Y + fD(Y) となる。
証明
任意の g ∈ C^∞(M) に対して、
[X, fY]g = X(fYg) - fY(Xg) = X(f)Yg + fXYg - fYXg = X(f)Yg + f[X, Y]g
= X(f)Yg + fD(Y)g
よって、>>240より、D(fY) = X(f)Y + fD(Y) である。
証明終
0277Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/10(火) 17:32:21D を M 上のテンソル微分(>>235)とする。
>>275より、D は C^∞(M) 及び X(M) における作用により決まる。
C : T(1, 1)(M) → T(0, 0)(M) = C^∞(M) を縮約(>>234)とする。
ω ∈ T(0, 1)(M), Y ∈ X(M) とする。
D は C と可換だから
D(C(ω※Y)) = C(D(ω※Y)) = C(D(ω)※Y) + C(ω※D(Y))
よって、
D(ω(Y)) = D(ω)(Y) + ω(D(Y))
よって、
D(ω)(Y) = D(ω(Y)) - ω(D(Y))
即ち、D(ω) は D の C^∞(M) 及び X(M) における作用から具体的に決まる。
0278Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/11(水) 22:55:10M を n 次元多様体とする。
p を M の点とし、U を p の開近傍とする。
ω を U 上の一次微分形式とする。
このとき p の開近傍 V ⊂ U と M 上の一次微分形式 θ が存在し、
V 上で ω = θ となる。
証明
p の開近傍 W で W~ ⊂ U となるものをとる。
過去スレ014の748より、
p の開近傍 V で V~ ⊂ W となるものと、M 上のC^∞級関数 f で
以下の条件を満たすものが存在する。
1) 0 ≦ f ≦ 1
2) V~ 上で f = 1
3) M - W で f = 0
M 上の一次微分形式 θ を
a) x ∈ U のとき θ_x = f(x)ω_x
b) x ∈ M - W~ のとき θ_x = 0
により定義する。
x ∈ U - W~ のとき f(x) = 0 であるから、上記の定義に矛盾はない。
θ は U 及び開集合 M - W~ でC^∞級であるから M 全体でC^∞級である。
V 上で f = 1 であるから V 上で ω = θ となる。
証明終
0279Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/11(水) 22:56:20M を n 次元多様体とする。
p を M の点とする。
v を p における任意の余接ベクトル、即ち T_p(M)^* の元とする。
このとき M 上の一次微分形式 θ が存在し、θ_p = v となる。
証明
(x_1, ..., x_n) を p の開近傍 U での局所座標とする。
v = Σa_i(dx_i)_p とする。ここで a_i, i = 1, ..., n は実数である。
ω = Σa_idx_i は U における一次微分形式である。
>>278より、p の開近傍 V (V ⊂ U) と M 上の一次微分形式 θ が存在し、
V 上で ω = θ となる。
θ_p = v である。
証明終
0280Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/11(水) 22:58:57T(0, 1)(M) 即ち M 上の一次微分形式全体を Ω(M) と書く。
0281Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/11(水) 23:00:31M を n 次元多様体とする。
A を (Ω(M)^r)×(X(M)^s) からC^∞(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像とする。
ω_1, ... ω_r を M 上の一次微分形式とする。
X_1, ... X_s を M 上のベクトル場とする。
p を M の点とする。
このとき、(ω_i)_p = 0 または (X_j)_p = 0 なら
A(ω_1, ... ω_r, X_1, ... X_s)(p) = 0 である。
証明
>>278を考慮すれば>>254と同様である。
0282Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/11(水) 23:02:59M を n 次元多様体とする。
A を (Ω(M)^r)×(X(M)^s) からC^∞(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像とする。
ω_1, ... ω_r と θ_1, ..., θ_r を M 上の一次微分形式とする。
X_1, ... X_s と Y_1, ..., Y_s を M 上のベクトル場とする。
p を M の点とする。
(ω_i)_p = (θ_i)_p, i = 1, ..., n かつ
(X_i)_p = (Y_i)_p, i = 1, ..., n なら
A(ω_1, ... ω_r, X_1, ... X_s)(p) = A(θ_1, ..., θ_r, Y_1, ... Y_s)(p) である。
証明
>>281を使って>>257と同様に証明すればよい。
0283Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/11(水) 23:04:08M を多様体とする。
A を (r, s) 型のテンソル場(>>203)とする。
ω_1, ..., ω_r ∈ Ω(M) と X_1, ..., X_r ∈ X(M) に対して
M 上の実数値関数 f を
f(p) = A_p((ω_1)_p, ..., (ω_r)_p, (X_1)_p, ..., (X_r)_p) により定義する。
f を A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_r) と書く。
0284Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/11(水) 23:06:46M を多様体とする。
A を (r, s) 型のテンソル場(>>203)とする。
ω_1, ..., ω_r ∈ Ω(M) と X_1, ..., X_s ∈ X(M) に対して
A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s) (>>283) はC^∞級である。
証明
>>249と同様である。
0285Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/11(水) 23:17:09M を n 次元多様体とする。
A と B を (r, s) 型のテンソル場(>>203)とする。
任意の ω_1, ..., ω_r ∈ Ω(M) と任意の X_1, ..., X_s ∈ X(M) に対して
A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s) = B(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
であるなら A = B である。
証明
p を M の任意の点とする。
(v_1)^*, ..., (v_r)^* を p における任意の余接ベクトルとする。
>>279より M 上の一次微分形式 ω_1, ..., ω_r が存在し、
ω_i = (v_1)^*, i = 1, ..., r となる。
w_1, ..., w_s を p における任意の接ベクトルとする。
>>256より M 上のベクトル場 X_1, ..., X_s が存在し、
X_i = w_i, i = 1, ..., s となる。
仮定より、
A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s) = B(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
であるから、
A_p((v_1)^*, ..., (v_r)^*, w_1, ..., w_s)
= B_p((v_1)^*, ..., (v_r)^*, w_1, ..., w_s)
となる。
よって、A_p = B_p である。
よって A = B である。
証明終
0286Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/11(水) 23:27:04>ω_i = (v_1)^*, i = 1, ..., r となる。
(ω_i)_p = (v_1)^*, i = 1, ..., r となる。
>X_i = w_i, i = 1, ..., s となる。
(X_i)_p = w_i, i = 1, ..., s となる。
0287Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/11(水) 23:41:27命題
M を n 次元多様体とする。
A を (Ω(M)^r)×(X(M)^s) からC^∞(M) へのC^∞(M)上の多重線型写像とする。
このとき、(r, s) 型のテンソル場 B が一意に存在し、
任意の ω_1, ..., ω_r ∈ Ω(M) と任意の X_1, ..., X_s ∈ X(M) に対して
A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s) = B(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
となる。
ここで、B(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s) は>>283で定義したものである。
証明
>>259と同様であるが一応証明する。
B の一意性は>>285で証明されているので B の存在を証明すればよい。
p を M の任意の点とする。
(v_1)^*, ..., (v_r)^* を p における任意の余接ベクトルとする。
>>279より M 上の一次微分形式 ω_1, ..., ω_r が存在し、
(ω_i)_p = (v_1)^*, i = 1, ..., r となる。
w_1, ..., w_s を p における任意の接ベクトルとする。
>>256より M 上のベクトル場 X_1, ..., X_s が存在し、
(X_i)_p = w_i, i = 1, ..., s となる。
B_p((v_1)^*, ..., (v_r)^*, w_1, ..., w_s)
= A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)(p) とおく。
(続く)
0288Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/11(水) 23:42:16>>282より、B_p((v_1)^*, ..., (v_r)^*, w_1, ..., w_s) は
ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s の選び方によらない。
((v_1)^*, ..., (v_r)^*, w_1, ..., w_s) → B_p((v_1)^*, ..., (v_r)^*, w_1, ..., w_s)
は明らかに T_p(M) 上の (r, s) 型のテンソル(>>198)である。
ここで、T_p(M) は p における M の接空間である。
次に B がC^∞級のテンソル場であることを証明する。
(x_1, ..., x_n) を p の開近傍 U での局所座標とする。
>>278と>>253より、M 上の一次微分形式 θ_1, ..., θ_n と
ベクトル場 Y_1, ..., Y_n で p のある開近傍 V 上で
dx_i = θ_i, i = 1, ..., n
∂/∂x_i = Y_i, i = 1, ..., n
となるものが存在する。
V 上で、
B_q(dx_(i_1), ..., dx_(i_r), (∂/∂x_(j_1), ..., (∂/∂x_(j_s))
= A(θ_(i_1), ..., θ_(i_r), Y_(j_1), ..., Y_(j_s))(q) であるから
V 上で、
関数 q → B_q(dx_(i_1), ..., dx_(i_r), (∂/∂x_(j_1), ..., (∂/∂x_(j_s))
はC^∞級である。
よって、B はC^∞級のテンソル場である。
B が求めるものである。
証明終
0289Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/11(水) 23:45:56(r, s) 型のテンソル場と同一視することにする。
0290Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/12(木) 08:48:20>v_1, ..., v_n を p における接ベクトルとする。
>
>>>256より M 上のベクトル場 X_1, ..., X_n が存在し、
>X_i = v_i, i = 1, ..., n となる。
>
>B_p(v_1, ..., v_n) = A(X_1, ... X_r)(p) とおく。
>
>>>257より、B_p(v_1, ..., v_n) は ベクトル場 X_1, ..., X_n の選び方によらない。
>
>(v_1, ..., v_n) → B_p(v_1, ..., v_n) は明らかに T_p(M) 上の
>(0, r) 型のテンソル(>>198)である。
>ここで、T_p(M) は p における M の接空間である。
v_1, ..., v_r を p における接ベクトルとする。
>>256より M 上のベクトル場 X_1, ..., X_r が存在し、
(X_i)_p = v_i, i = 1, ..., r となる。
B_p(v_1, ..., v_r) = A(X_1, ... X_r)(p) とおく。
>>257より、B_p(v_1, ..., v_r) は ベクトル場 X_1, ..., X_r の選び方によらない。
(v_1, ..., v_r) → B_p(v_1, ..., v_r) は明らかに T_p(M) 上の
(0, r) 型のテンソル(>>198)である。
0291Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/12(木) 08:50:55>V 上で、B_q((∂/∂x_1)_q, ..., (∂/∂x_n)_q) = B(Y_1, ... Y_r)(q) であるから
>V 上で、関数 q → B_q((∂/∂x_1)_q, ..., (∂/∂x_n)_q) はC^∞級である。
>よって、B はC^∞級のテンソル場である。
V 上で、B_q((∂/∂x_(i_1))_q, ..., (∂/∂x_(i_r))_q) = B(Y_(i_1), ... Y_(i_r))(q)
であるから V 上で、関数 q → B_q((∂/∂x_1)_q, ..., (∂/∂x_n)_q) はC^∞級である。
よって、B はC^∞級のテンソル場である。
0292Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/12(木) 08:52:37>(X_i)_p = (Y_i)_p, i = 1, ..., n なら
>A(X_1, ... X_r)(p) = A(Y_1, ... Y_r)(p) である。
(X_i)_p = (Y_i)_p, i = 1, ..., r なら
A(X_1, ... X_r)(p) = A(Y_1, ... Y_r)(p) である。
0293Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/12(木) 08:54:42>v_1, ..., v_n を p における接ベクトルとする。
>
>>>256より M 上のベクトル場 X_1, ..., X_n が存在し、
>X_i = v_i, i = 1, ..., n となる。
>
>B_p(v_1, ..., v_n) = A(X_1, ... X_r)(p) とおく。
>
>>>267より、B_p(v_1, ..., v_n) は ベクトル場 X_1, ..., X_n の選び方によらない。
>
>(v_1, ..., v_n) → B_p(v_1, ..., v_n) は明らかに T_p(M) 上の
>(1, r) 型のテンソル(>>203, >>261)である。
v_1, ..., v_r を p における接ベクトルとする。
>>256より M 上のベクトル場 X_1, ..., X_r が存在し、
(X_i)_p = v_i, i = 1, ..., r となる。
B_p(v_1, ..., v_r) = A(X_1, ... X_r)(p) とおく。
>>267より、B_p(v_1, ..., v_r) は ベクトル場 X_1, ..., X_n の選び方によらない。
(v_1, ..., v_r) → B_p(v_1, ..., v_r) は明らかに T_p(M) 上の
(1, r) 型のテンソル(>>203, >>261)である。
0294Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/12(木) 09:00:24>V 上で、B_q((∂/∂x_1)_q, ..., (∂/∂x_n)_q) = B(Y_1, ... Y_r)(q) であるから
>V 上のベクトル場 q → B_q((∂/∂x_1)_q, ..., (∂/∂x_n)_q) はC^∞級である。
>よって、B はC^∞級の(1, r)型テンソル場である。
V 上で、B_q((∂/∂x_(i_1))_q, ..., (∂/∂x_(i_r))_q) = B(Y_(i_1), ... Y_(i_r))(q)
であるから V 上のベクトル場 q → B_q((∂/∂x_(i_1))_q, ..., (∂/∂x_(i_r))_q) は
C^∞級である。
よって、B はC^∞級の(1, r)型テンソル場である。
0295Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/13(金) 17:23:40E を可換環 K 上の有限生成自由加群とする。
E^* をその双対空間とする。
s を s ≧ 1 となる整数とする。
v ∈ E と A ∈ T(0, s)(E) に対して、v※A ∈ T(1, s) である。
C(1, 1): T(1, s)(E) → T(0, s-1)(E) を縮約(>>207. >>223)とする。
このとき、C(1, 0)(v※A) = B である。
ここで、任意の v_1, ..., v_s に対して
B(v_1, ..., v_s) = A(v, v_1, ..., v_s)
である。
証明
f_1, ..., f_s を E^* の元として
A = f_1※...※f_s のときは補題の主張は明らかである。
一般の A は f_1※...※f_s の形のテンソルの有限個の和であるから
この場合も補題の主張は明らかである。
証明終
0296Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/13(金) 17:25:58>このとき、C(1, 0)(v※A) = B である。
このとき、C(1, 1)(v※A) = B である。
0297Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/13(金) 17:27:22>ここで、任意の v_1, ..., v_s に対して
>B(v_1, ..., v_s) = A(v, v_1, ..., v_s)
ここで、任意の v_2, ..., v_s に対して
B(v_2, ..., v_s) = A(v, v_2, ..., v_s)
0298Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/13(金) 17:32:17E を可換環 K 上の有限生成自由加群とする。
E^* をその双対空間とする。
s を s ≧ 1 となる整数とする。
v ∈ E と A ∈ T(r, s)(E) に対して、v※A ∈ T(r+1, s) である。
C(1, 1): T(r+1, s)(E) → T(r, s-1)(E) を縮約(>>207. >>223)とする。
このとき、C(1, 1)(v※A) = B である。
ここで、任意の (w_1)*, ..., (w_r)* ∈ E^*, v_2, ..., v_s ∈ E に対して
B((w_1)*, ..., (w_r)*, v_2, ..., v_s) = A((w_1)*, ..., (w_r)*, v, v_2, ..., v_s)
である。
証明
>>295と同様である。
0299Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/13(金) 17:37:06E を可換環 K 上の有限生成自由加群とする。
E^* をその双対空間とする。
s を s ≧ 1 となる整数とする。
w^* ∈ E^* と A ∈ T(r, s)(E) に対して、(w^*)※A ∈ T(r, s+1) である。
C(1, 1): T(r, s+1)(E) → T(r-1, s)(E) を縮約(>>207. >>223)とする。
このとき、C(1, 1)((w^*)※A) = B である。
ここで、任意の (w_2)*, ..., (w_r)* ∈ E^*, v_1, ..., v_s ∈ E に対して
B(w^* , (w_2)*, ..., (w_r)*, v_1, ..., v_s) = A(w^*, (w_2)*, ..., (w_r)*, v_1, ..., v_s)
である。
証明
>>295と同様である。
0300Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/13(金) 17:44:12>s を s ≧ 1 となる整数とする。
r を r ≧ 1 となる整数とする。
0301Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/13(金) 18:05:15E を可換環 K 上の有限生成自由加群とする。
E^* をその双対空間とする。
r, s を r ≧ 1, s ≧ 1 となる整数とする。
(w_1)*, ..., (w_r)* ∈ E^* と v_1, ..., v_s ∈ E, A ∈ T(r, s)(E) に対して、
v_1※...※v_s※(w_1)*※...※(w_r)*※A ∈ T(r+s, r+s)(E) である。
このとき、
C(r+s, r+s)...C(2, 2)C(1, 1)A = A((w_1)*, ..., (w_r)*, v_1, ..., v_s) ∈ K
となる。
証明
>>298と>>299を繰り返し使えばよい。
0302Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/14(土) 15:04:14>このとき、
>C(r+s, r+s)...C(2, 2)C(1, 1)A = A((w_1)*, ..., (w_r)*, v_1, ..., v_s) ∈ K
>となる。
このとき、
C(r+s, r+s)...C(2, 2)C(1, 1)v_1※...※v_s※(w_1)*※...※(w_r)*※A
= A((w_1)*, ..., (w_r)*, v_1, ..., v_s) ∈ K
となる。
0303Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/14(土) 15:24:16M を n 次元多様体とする。
A を (r, s) 型のテンソル場とする。
任意の ω_1, ..., ω_r ∈ Ω(M) と任意の X_1, ..., X_s ∈ X(M) に対して
C(r+s, r+s)...C(2, 2)C(1, 1)X_1※...※X_s※ω_1※...※ω_r※A
となる。
証明
>>301(と>>302)より明らかである。
0304Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/14(土) 15:28:29M を n 次元多様体とする。
A を (r, s) 型のテンソル場とする。
任意の ω_1, ..., ω_r ∈ Ω(M) と任意の X_1, ..., X_s ∈ X(M) に対して
C(r+s, r+s)...C(2, 2)C(1, 1)X_1※...※X_s※ω_1※...※ω_r※A
= A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
となる。
証明
>>301(と>>302)より明らかである。
0305Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/14(土) 15:32:20M を n 次元多様体とする。
D をM 上のテンソル微分(>>235)とする。
A を (r, s) 型のテンソル場とする。
任意の ω_1, ..., ω_r ∈ Ω(M) と任意の X_1, ..., X_s ∈ X(M) に対して
D(A)(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
= D(A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s))
- ΣA(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., D(X_i), ..., X_s)
- ΣA(ω_1, ..., D(ω_j), ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
証明
>>303より、
CX_1※...※X_s※ω_1※...※ω_r※A = A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
となる。
ここで、C = C(r+s, r+s)...C(2, 2)C(1, 1) とおいた。
両辺に D を作用させると、
D(A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)) =
ΣCX_1※...※D(X_i)※...X_s※ω_1※...※ω_r※A
+ ΣCX_1※...※X_s※ω_1※...※D(ω_j)※...※ω_r※A
+ CX_1※...※X_s※ω_1※...※ω_r※D(A)
= ΣA(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., D(X_i), ..., X_s)
+ ΣA(ω_1, ..., D(ω_j), ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
+ D(A)(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
よって、
D(A)(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
= D(A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s))
- ΣA(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., D(X_i), ..., X_s)
- ΣA(ω_1, ..., D(ω_j), ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
証明終
0306Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/14(土) 18:35:14M を n 次元多様体とする。
整数 r, s ≧ 1 が与えられたとき、1 ≦ i ≦ r, 1 ≦ j ≦ s となる
整数の組 (i, j) を一つ固定する。
C(i, j): T(r, s)(M) → T(r-1, s-1)(M) を縮約(>>234)とする。
A を M 上の(r, s)型のテンソル場(>>203)とする。
A が M の開集合 U 上で 0 とする。
このとき、C(i, j)(A) も U 上で 0 である。
証明
p を U の任意の点とする。
過去スレ014の748より、
p の開近傍 V で V~ ⊂ U となるものと、M 上のC^∞級関数 g で
以下の条件を満たすものが存在する。
a) 0 ≦ g ≦ 1
b) V~ 上で g = 1
c) M - U で g = 0
f = 1 - g とおく。
fA は U 上で 0 であるから U 上で A = fA である。
f は M - U で 1 であるから M - U で A = fA である。
よって、M 上で A = fA である。
よって、C(i, j)(A) = C(i, j)(fA) = fC(i, j)(A)
f(p) = 0 であるから C(i, j)(A)_p = 0 である。
p は U の任意の点であるから C(i, j)(A) は U 上で 0 である。
証明終
0307Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/15(日) 00:41:28M を n 次元多様体とする。
X ∈ X(M) に対して M 上のテンソル微分(>>235) D で
f ∈ C^∞(M) のとき D(f) = Xf
Y ∈ X(M) のとき D(Y) = [X, Y]
となるものが一意に存在する。
証明
D の一意性は>>275で証明されているので D の存在を証明すればよい。
>>277を参考にして、
ω ∈ Ω(M) のとき、
D(ω)(Y) = D(ω(Y)) - ω(D(Y))
により、D(ω) ∈ Ω(M) を定義する。
A を (r, s) 型のテンソル場とする。
任意の ω_1, ..., ω_r ∈ Ω(M) と任意の X_1, ..., X_s ∈ X(M) に対して
D(A)(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
= D(A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s))
- ΣA(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., D(X_i), ..., X_s)
- ΣA(ω_1, ..., D(ω_j), ..., ω_r, X_1, ..., X_s)
により、(r, s) 型のテンソル場 D(A) を定義する(>>289)。
(続く)
0308Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/15(日) 00:42:33ω ∈ Ω(M) のときは D(ω) は最初の定義と一致する。
Y ∈ X(M) のときは ω ∈ Ω(M) に対して
D(ω)(Y) = D(ω(Y)) - ω(D(Y))
よって、
D(ω)(Y) = D(Y(ω)) - D(Y)(ω)
よって、
D(Y)(ω) = D(Y(ω)) - D(ω)(Y) = D(Y(ω)) - Y(D(ω))
よって、D(Y) は最初の定義と一致する。
A を (r, s) 型のテンソル場とし、B を (p, q) 型のテンソル場とする。
任意の ω_1, ..., ω_r θ_1, ..., θ_p ∈ Ω(M)
と任意の X_1, ..., X_s, Y_1, ..., Y_q ∈ X(M) に対して
D(A※B)(ω_1, ..., ω_r, θ_1, ..., θ_p, X_1, ..., X_s, Y_1, ..., Y_q)
= D(A※B(ω_1, ..., ω_r, θ_1, ..., θ_p, X_1, ..., X_s, Y_1, ..., Y_q))
- ΣA※B(ω_1, ..., ω_r, θ_1, ..., θ_p, X_1, ..., D(X_i), ..., X_s, Y_1, ..., Y_q)
- ΣA※B(ω_1, ..., ω_r, θ_1, ..., θ_p, X_1, ..., X_s, Y_1, ..., D(Y_j), ..., Y_s)
- ΣA※B(ω_1, ..., D(ω_k), ..., ω_r, θ_1, ..., θ_p, X_1, ..., X_s, Y_1, ..., Y_q)
- ΣA※B(ω_1, ..., ω_r, θ_1, ..., D(θ_l), ..., θ_p, X_1, ..., X_s, Y_1, ..., Y_q)
= D(A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s))B(θ_1, ..., θ_p, Y_1, ..., Y_q)
+ A(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)D(B(θ_1, ..., θ_p, Y_1, ..., Y_q))
- ΣA(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., D(X_i), ..., X_s)B(θ_1, ..., θ_p, Y_1, ..., Y_q)
- ΣA(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)B(θ_1, ..., θ_p, Y_1, ..., D(Y_j), ..., Y_s)
- ΣA(ω_1, ..., D(ω_k), ..., ω_r, X_1, ..., X_s)B(θ_1, ..., θ_p, Y_1, ..., Y_q)
- ΣA(ω_1, ..., ω_r, X_1, ..., X_s)B(θ_1, ..., D(θ_l), ..., θ_p, Y_1, ..., Y_q)
= D(A)※B + A※D(B)
よって D はテンソル代数 T(*,*)(M) の微分(>>212)である。
(続く)
0309Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/15(日) 00:44:48D が縮約と可換なことの証明が残っている。
任意の ω_1, ..., ω_r ∈ Ω(M) と任意の X_1, ..., X_s ∈ X(M) に対して
B = X_1※...※X_r※ω_1※...※ω_s とおく。
C = C(1, 1) を縮約 T(r, s)(M) → T(r-1, s-1)(M) とする。
C(B) = <X_1, ω_1>X_2※...※X_r※ω_2※...※ω_s
よって、
DC(B)
= D(<X_1, ω_1>)X_2※...※X_r※ω_2※...※ω_s
+ Σ<X_1, ω_1>X_2※...※D(X_i)※...※X_r※ω_2※...※ω_s
+ Σ<X_1, ω_1>X_2※...※X_r※ω_2※...※D(ω_j)※...※ω_s
= <D(X_1), ω_1>X_2※...※X_r※ω_2※...※ω_s
+ <X_1, D(ω_1)>X_2※...※X_r※ω_2※...※ω_s
+ Σ<X_1, ω_1>X_2※...※D(X_i)※...※X_r※ω_2※...※ω_s
+ Σ<X_1, ω_1>X_2※...※X_r※ω_2※...※D(ω_j)※...※ω_s
= CD(B)
A を (r, s) 型のテンソル場とする。
p を M の任意の点とする。
U を p ∈ U となる M の座標近傍で (x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。
>>201より、A は U 上で
ΣA(i_1, ..., i_r, j_1, ..., j_s)∂/∂x_(i_1)※...※∂/∂x_(i_r)※dx_(j_1)※...※dx_(j_s)
と一意に書ける。
(続く)
0310Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/15(日) 00:45:55>>278と>>253より、f(i_1, ..., i_r, j_1, ..., j_s) ∈ C^∞(M) と
M 上の一次微分形式 ω_1, ..., ω_n と
ベクトル場 X_1, ..., X_n で p のある開近傍 V 上で
A(i_1, ..., i_r, j_1, ..., j_s) = f(i_1, ..., i_r, j_1, ..., j_s)
dx_i = ω_i, i = 1, ..., n
∂/∂x_i = X_i, i = 1, ..., n
となるものが存在する。
B =
Σf(i_1, ..., i_r, j_1, ..., j_s)X_(i_1)※...※X_(i_r)※ω_(j_1)※...※ω_(j_s)
とおく。
V 上で A = B である。
E(A) = DC(A) - CD(A) とおく。
V 上で A - B = 0 であるから
>>271と>>306より、V 上で E(A - B) = 0 である。
よって、V 上で DC(A) - CD(A) = DC(B) - CD(B) である。
一方、DC(B) = CD(B) であるから
V 上で DC(A) = CD(A) である。
p は M の任意の点であるから M 上で DC(A) = CD(A) である。
証明終
0311Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/15(日) 00:49:40>>307の D を X による Lie微分(Lie derivative) と呼び、L_X と書く。
0312Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/15(日) 14:16:54M を n 次元多様体とする。
S を M 上の (1, 1) 型のテンソル場とする。
>>261より、各 p ∈ M に対して S_p : T_p(M) → T_p(M) は
R-線型写像と見なされる。
>>227より S_p は T_p(M)上のテンソル微分(>>222)に一意に拡張される。
A を M 上の (r, s) 型のテンソル場とする。
S(A)_p = S_p(A_p) とおく。
このとき、A → S(A) は M 上のテンソル微分(>>235)である。
証明
S がC^∞級であることを証明すればよい。
p を M の任意の点とし、U を p の座標近傍で (x_1, ..., x_n) を
その局所座標とする。
S_p(∂/∂x_j)_p = Σξ(i, j)(p)(∂/∂x_i)_p とおく。
ξ(i, j) は U 上で C^∞級である。
(dx_k)_p(S_p(∂/∂x_j)_p) = Σξ(i, j)(p)(dx_k)_p(∂/∂x_i)_p
= ξ(k, j)(p)
よって、
(S_p)^*(dx_k)_p = Σξ(k, j)(p)(dx_j)_p
>>224より、
S_p((dx_k)_p) = -Σξ(k, j)(p)(dx_j)_p
S((∂/∂x_(i_1))※...※(∂/∂x_(i_r))※dx_(j_1)※...※dx_(j_s)) =
Σ(∂/∂x_(i_1))※...※S(∂/∂x_(i_k))※...※(∂/∂x_(i_r))※dx_(j_1)※...※dx_(j_s)
+ Σ(∂/∂x_(i_1))※...※(∂/∂x_(i_r))※dx_(j_1)※...※S(dx_(j_l))※...※dx_(j_s)
よって S はC^∞級である。
証明終
0313Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/15(日) 14:44:39M を n 次元多様体とする。
D を M 上のテンソル微分(>>235) で、任意の f ∈ C^∞(M) に対して
D(f) = 0 とする。
このとき (1, 1) 型のテンソル場 S で D = S となるものが一意に存在する。
ここで、S は>>312により M 上のテンソル微分と見なしている。
証明
X ∈ X(M) と f ∈ C^∞(M) に対して、D(f) = 0 であるから、
D(fX) = D(f)X + fD(X) = fD(X) である。
よって D は C^∞(M)-加群としての準同型 X(M) → X(M) を引き起こす。
>>269より (1, 1) 型のテンソル場 S で X(M) 上で D = S となるものが
一意に存在する。
>>275より M 上のテンソル微分として D = S である。
証明終
0314Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/15(日) 14:47:45M を n 次元多様体とする。
M 上のテンソル微分(>>235) D は
D = L_X + S と一意に書ける。
ここで、L_X は M 上のベクトル場 X による Lie微分(>>311)であり、
S は M 上の (1, 1) 型のテンソル場である。
S は>>312により M 上のテンソル微分と見なしている。
証明
D は C^∞(M) の微分を引き起こすから>>244より M 上のベクトル場 X が一意に存在し、
C^∞(M) 上で D = D_X と書ける。
D - LX は C^∞(M) 上で 0 となる。
D - LX はテンソル微分であるから >>313より、(1, 1) 型のテンソル場 S が
一意に存在し、D - LX = S と書ける。
証明終
0315Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/16(月) 14:37:25M を n 次元多様体とする。
Ω^k(M) を M 上の k 次微分形式(過去スレ014の731)全体とする。
Ω^k(M) は R 上の線型空間である。
Ω^*(M) = ΣΩ^k(M), k = 0, 1, ..., n (直和)とおく。
ω ∈ Ω^k(M), θ ∈ Ω^l(M) のとき ωΛθ ∈ Ω^(k + l)(M) を
各点 p ∈ M に対して (ωΛθ)_p = ω_pΛθ_p により定義する。
ωΛθ を ω と θ の外積(exterior product)(または楔積(wedge product))と呼ぶ。
Ω^*(M) は外積により R 上の結合的な代数となる。
Ω^*(M) を M 上の外積代数と呼ぶ。
Ω^0(M) = C^∞(M) であるので Ω^*(M) は可換環 C^∞(M) 上の代数でもある。
Ω^*(M) は R 上(または C^∞(M) 上)の次数付き代数(過去スレ001の720)でもある。
0316Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/16(月) 14:55:50K を可換環とする。
A = ΣA_n, n = 0, 1, ... を K 上の必ずしも可換とは限らない次数付き代数とする。
A の微分(derivation) D とは K-線型写像 D: A → A で
任意の x, y ∈ A に対して D(xy) = D(x)y + xD(y) となるものをいう。
ある k に対して、D(A_p) ⊂ A_(p+k) が任意の p に対して成り立つとき
D を k 次の微分という。
A の歪微分(skew-derivation) E とは K-線型写像 E: A → A で
任意の x ∈ A_p, y ∈ A_q に対して
E(xy) = E(x)y + ((-1)^p)xE(y) となるものをいう。
ある k に対して、E(A_p) ⊂ A_(p+k) が任意の p に対して成り立つとき
E を k 次の歪微分という。
0317Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/16(月) 15:25:04M を n 次元多様体とする。
D を Ω^*(M) (>>315) の微分(>>316)または歪微分(>>316)とする。
ω ∈ Ω^k(M) (>>315) が M の開集合 U 上で 0 とする。
このとき、D(ω) も U 上で 0 である。
証明
p を U の任意の点とする。
過去スレ014の748より、
p の開近傍 V で V~ ⊂ U となるものと、M 上のC^∞級関数 g で
以下の条件を満たすものが存在する。
a) 0 ≦ g ≦ 1
b) V~ 上で g = 1
c) M - U で g = 0
f = 1 - g とおく。
fω は U 上で 0 であるから U 上で ω = fω である。
f は M - U で 1 であるから M - U で ω = fω である。
よって、M 上で ω = fω である。
よって、D(ω) = D(fω) = D(f)ω + fD(ω)
f(p) = 0 かつ ω_p = 0 であるから D(ω)_p = 0 である。
p は U の任意の点であるから D(ω) は U 上で 0 である。
証明終
0318Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/16(月) 15:52:32M を n 次元多様体とする。
D を Ω^*(M) (>>315) の微分(>>316)または歪微分(>>316)とする。
ω_1, ..., ω_k ∈ Ω^1(M) とする。
D が微分のとき
D(ω_1Λ...Λω_k) = Σω_1Λ...ΛD(ω_i)Λ...Λω_k
D が歪微分のとき
D(ω_1Λ...Λω_k) = Σ(-1)^(i-1)ω_1Λ...ΛD(ω_i)Λ...Λω_k
証明
ほとんど自明である。
厳密には数学的帰納法による。
0319Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/16(月) 16:00:09M を n 次元多様体とする。
D を Ω^*(M) (>>315) の微分(>>316)または歪微分(>>316)とする。
D は Ω^0(M) および Ω^1(M) への作用で完全に決定される。
証明
D|Ω^0(M) = 0 かつ D|Ω^1(M) と仮定して、D = 0 を証明すればよい。
ω ∈ Ω^k(M) (>>315) とする。
p を M の任意の点とし、(x_1, ..., x_n) を p の開近傍 U での局所座標とする。
U 上で ω は
Σg_(i_1, ..., i_k)dx_(i_1)※...※dx_(i_k)
g_(i_1, ..., i_k) ∈ C^∞(U)
1 ≦ i_1 ＜ ... ＜ i_k ≦ n
と書ける。
>>239と>>274より、f_(i_1, ..., i_k) ∈ C^∞(M) と ω_1, ..., ω_n ∈ Ω^1(M)
が存在し、
p のある開近傍 V 上で g_(i_1, ..., i_k) = f_(i_1, ..., i_k)
dx_i = ω_i, i = 1, ..., n となる。
θ = Σf_(i_1, ..., i_k)ω_(i_1)Λ...Λω_(i_k)
とおく。
ω - θ は V 上で 0 であるから >>317より、V 上で D(ω) = D(θ) である。
一方、>>318より D(θ) = 0 であるから D(ω) = 0 である。
証明終
0320Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/16(月) 16:44:40Ω^*(M) (>>315) の次数１の歪微分(>>316) d で次の性質を満たすものが
一意に存在することを証明しよう。
1) f ∈ Ω^0(M) = C^∞(M) のとき df ∈ Ω^1(M) は f の通常の微分である。
即ち、任意の X ∈ X(M) (>>238) に対して df(X) = Xf である。
2) d^2 = 0
0321Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/16(月) 16:48:04>Σg_(i_1, ..., i_k)dx_(i_1)※...※dx_(i_k)
Σg_(i_1, ..., i_k)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k)
0322Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/16(月) 17:09:57M を n 次元多様体とする。
M の任意の開集合 U に対して、
Ω^*(U) (>>315) の次数１の歪微分(>>316) d = d(U) で次の性質を満たすものが一意に存在する
1) f ∈ Ω^0(U) = C^∞(U) のとき df ∈ Ω^1(U) は f の通常の微分である。
即ち、任意の X ∈ X(U) (>>238) に対して df(X) = Xf である。
2) d^2 = 0
3) V ⊂ U を開集合としたとき d は制限写像 ρ(U, V): Ω^k(U) → Ω^k(V) と可換である。
即ち、任意の ω ∈ Ω^k(U) (>>315) に対して (dω)|V = d(ω|V) である。
ここで、θ ∈ Ω^k(U) のとき ρ(U, V)(θ) = θ|V と略記した。
0323Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/16(月) 19:46:51ω ∈ Ω^k(M) とする。
d と d’を>>322の条件を満たすものする。
U を M の任意の座標近傍とし、(x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。
ω|U = Σf_(i_1, ..., i_k)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k) と書ける。
>>318及び d^2 = 0 より、d(dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k)) = 0 である。
よって、
d(ω|U) = Σdf_(i_1, ..., i_k)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k)
である。
>>322の 1)より、
df_(i_1, ..., i_k) = d’f_(i_1, ..., i_k)
dx_i = d’x_i, i = 1, ..., n
よって、
>>318及び (d’)^2 = 0 より、d’(dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k)) = 0 である。
よって、
d’(ω|U) = Σdf_(i_1, ..., i_k)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k)
即ち、d(ω|U) = d’(ω|U)
仮定より (dω)|U = d(ω|U), (d’ω)|U = d’(ω|U)であるから
(dω)|U = (d’ω)|U
U は任意の座標近傍であるから、dω = d’ω
よって、M の任意の開集合 V に対して
d(ω|V) = d’(ω|V)
証明終
0324Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/16(月) 20:50:57U を M の任意の座標近傍とし、(x_1, ..., x_n) をその局所座標とする。
ω ∈ Ω^k(U) とする。
ω = Σf_(i_1, ..., i_k)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k) と書ける。
ここで、和は 1 ≦ i_1 ＜ ... ＜ i_p ≦ n となる組 (i_1, ..., i_p) 全体に
渡り、各 f_(i_1, ..., i_k) ∈ C^∞(U) である。
dω = Σdf_(i_1, ..., i_k)Λdx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k) と定義する。
ω ∈ Ω^p(U), θ ∈ Ω^q(U) のとき
d(ωΛθ) = dωΛθ + (-1)^pωΛdθ
を証明しよう。
ω = fdx_(i_1)Λ...Λdx_(i_p)
θ = gdx_(j_1)Λ...Λdx_(j_q)
として証明すればよい。
ここで、f, g ∈ C^∞(U) である。
1 ≦ i_1 ＜ ... ＜ i_p ≦ n, 1 ≦ j_1 ＜ ... ＜ j_q ≦ n
である。
集合 {i_1, ..., i_p} と集合 {j_1, ..., j_q} に共通要素があれば、
d(ωΛθ) = dωΛθ + (-1)^pωΛdθ の両辺は 0 である。
よって、{i_1, ..., i_p} と {j_1, ..., j_q} に共通要素がないと仮定してよい。
ωΛθ = (fg)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_p)Λdx_(j_1)Λ...Λdx_(j_q)
よって
d(ωΛθ) = d(fg)Λdx_(i_1)Λ...Λdx_(i_p)Λdx_(j_1)Λ...Λdx_(j_q)
= ((df)g + fdg)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_p)Λdx_(j_1)Λ...Λdx_(j_q)
= dωΛθ + f(dg)Λdx_(i_1)Λ...Λdx_(i_p)Λdx_(j_1)Λ...Λdx_(j_q)
= dωΛθ + (-1)^pωΛdθ
(続く)
0325Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/16(月) 20:52:05Ω^k(U) において d^2 = 0 を証明しよう。
f ∈ C^∞(U) のとき
df = Σ(∂f/∂x_i)dx_i である。
よって、
d(df) = Σd(∂f/∂x_i)Λdx_i = Σ(∂^2f/∂x_j∂x_i)dx_jΛdx_i
ここで、
i = j のとき dx_jΛdx_i = 0
i ≠ j のとき dx_jΛdx_i = -dx_iΛdx_j かつ
∂^2f/∂x_j∂x_i = ∂^2f/∂x_i∂x_j
よって、d(df) = 0 である。
ω ∈ Ω^k(U) とする。
ω = Σf_(i_1, ..., i_k)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k) と書ける。
d の定義より
dω = Σdf_(i_1, ..., i_k)dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k)
今述べたことと >>318より
d(dx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k)) = 0 である。
よって、
d(dω) = Σd(df_(i_1, ..., i_k))Λdx_(i_1)Λ...Λdx_(i_k) = 0
(続く)
0326Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/16(月) 20:54:00V を U に含まれる任意の開集合とする。
ω ∈ Ω^k(V) に対して dω が同様に定義される。
ω ∈ Ω^k(U) に対して明らかに d(ω|V) = (dω)|V である。
よって、>>323を多様体 M の代わりに 多様体 U に適用して d の一意性が得られる。
よって、d は U の局所座標の取り方によらない。
ω ∈ Ω^k(M) とする。
U を M の任意の座標近傍とする。
(dω)|U = d(ω|U) と定義する。
V を別の座標近傍とする。
d の一意性より d は U∩V 上で一致する。
よって dω ∈ Ω^(k+1)(M) が矛盾なく定義される。
この d が>>322の条件を満たすことは明らかである。
証明終
0327１３２人目の素数さん
2009/11/16(月) 22:12:330328Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/17(火) 10:04:48X を M 上のベクトル場とする。
Ω^*(M) (>>315) の次数 -１の歪微分(>>316) i(X) で次の性質を満たすものが
存在することを証明しよう。
1) 任意の f ∈ C^∞(M) に対して i(X)f = 0
2) 任意の ω ∈ Ω^1(M) に対して i(X)ω = ω(X)
>>319より i(X) は存在すればただ一つである。
0329Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/17(火) 10:14:12E を可換環 K 上の有限生成自由加群とする。
s を整数 s ≧ 1 とする。
v ∈ E と A ∈ T(0, s)(E) (>>198, >>215) に対して、
i(v)A ∈ T(0, s-1)(E) を
i(v)A(v_1, ..., v_(s-1)) = A(v, v_1, ..., v_(s-1))
により定義する。
ここで、v_1, ..., v_(s-1) は E の任意の元である。
A ∈ T(0, 1)(E) のときは i(v)A = A(v) である。
A ∈ K のときは i(v)A = 0 と定義する。
0330Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/17(火) 12:05:19K を標数 0 の可換体とする。
E を K 上の有限次元線型空間とする。
E^* を E の双対空間とする。
v を E の元、
f_1, ..., f_p を E^* の元とする。
i(v)(f_1Λ...Λf_p) = Σ(-1)^(i+1) i(v)f_i(f_1Λ...(f_i)^...Λf_p)
となる。
ここで、(f_i)^ は f_i を省くことを意味する。
証明
x_1, ..., x_p を E の元とする。
i(x_1)(f_1Λ...Λf_p)(x_2, ..., x_p)
= (f_1Λ...Λf_p)(x_1, ..., x_p)
= det(f_i(x_j)) ← 過去スレ014の691
= Σ(-1)^(i+1) f_i(x1)(f_1Λ...(f_i)^...Λf_p)(x_2, ..., x_p) ← 第１列で展開
v = x_1 とおくと
i(v)(f_1Λ...Λf_p) = Σ(-1)^(i+1) i(v)f_i(f_1Λ...(f_i)^...Λf_p)
証明終
0331Kummer ◆g2BU0D6YN2
2009/11/17(火) 12:18:08K を標数 0 の可換体とする。
E を K 上の n 次元線型空間とする。
E^* を E の双対空間とする。
Λ^*(E^*) = ΣΛ^p(E^*), p = 0, 1, ..., n (直和) とおく。
ここで、Λ^p(E^*) は過去スレ014の678で定義したもの。
Λ^*(E^*) は外積 Λ により K 上の次数付き代数となる。
Λ^*(E^*) を E^* 上の外積代数と呼ぶ。
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