命題
E と F を可換環 K 上の有限生成自由加群とする。
このとき、(E^*)※(F^*) と (E※F)^* は標準的に同型である。
ここで、※ は K 上のテンソル積をあらわす。

証明
L(E, F; K) を E×F から K への双線型写像全体のなす K-加群とする。
(E※F)^* と L(E, F; K) は標準的に同型である。
よって、(E^*)※(F^*) と L(E, F; K) が標準的に同型であることを証明すればよい。

f ∈ (E^*) と g ∈ (F^*) に対して τ(f, g) ∈ L(E, F; K) を
τ(f, g)(v, w) = f(v)g(w) により定義する。
(e_1, ..., e_n) を E の基底とし、(e^1, ..., e^n) をその双対基底とする。
(f_1, ..., f_m) を F の基底とし、(f^1, ..., f^m) をその双対基底とする。

Σa_(i, j)τ(e^i, f^j) = 0 とする。
ここで、a_(i, j) ∈ K であり、
和は {1, ..., n}×{1, ..., m} の元 (i, j) 全体を動く。
(k, l) ∈ {1, ..., n}×{1, ..., m} に対して、
Σa_(i, j)τ(e^i, f^j)(e_k, f_l) = a_(k, l) = 0
よって、τ(e^i, f^j), 1 ≦ i ≦ n, 1 ≦ j ≦ m は K 上一次独立である。

α を L(E, F; K) の任意の元とし、β = Σα(e_i, f_j)τ(e^i, f^j) とおく。
(k, l) ∈ {1, ..., n}×{1, ..., m} に対して、
β(e_k, f_l) = α(e_k, f_l) であるから β = α である。
よって、τ(e^i, f^j), 1 ≦ i ≦ n, 1 ≦ j ≦ m は L(E, F; K) の K 上の基底である。

τ は双線型であるから ψ: (E^*)※(F^*) → L(E, F; K) を引き起こす。
ψ は (E^*)※(F^*) の基底 (e^i)※(f^j), 1 ≦ i ≦ n, 1 ≦ j ≦ m を
L(E, F; K) の基底 τ(e^i, f^j), 1 ≦ i ≦ n, 1 ≦ j ≦ m に移すから
同型である。
証明終