補題
E を可換環 K 上加群とする。
T(E) を E 上のテンソル代数(>>223)とする。
D を E 上の任意のテンソル微分(>>222, >>223)とする。
D(E) ⊂ E であるから D は K 加群としての準同型 f: E → E を引き起こす。

このとき、D|E^* = -f^* である。
ここで、f^* は f の転置写像(transpose)である。

証明
D(1) = D(1)1 + 1D(1) = D(1) + D(1)
よって、D(1) = 0
よって、任意の a ∈ K に対して D(a) = aD(1) = 0 となる。

よって、v ∈ E, w^* ∈ E^* に対して D(<v, w^*>) = 0

他方、
D(<v, w^*>) = D(C(v※w^*)) = C(D(v※w^*))
= C(D(v)※w^* + v※D(w^*)) = <D(v), w^*> + <v, D(w^*)>

ここで、C は縮約(>>207)である。

よって、
<v, D(w^*)> = -<f(v), w^*> = <v, -f^*(w^*)>
よって、
D(w^*) = -f^*(w^*)
よって、
D|E^* = -f^* である。
証明終