命題
A を可換環 K 上の結合的な代数とする。
x, y ∈ A のとき [x, y] = xy - yx と書く。

このとき、A の任意の元 x, y, z に対して

[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0

となる。

証明
[x, [y, z]] = x(yz - zy) - (yz - zy)x = xyz - xzy - yzx + zyx

[y, [z, x]] = y(zx - xz) - (zx - xz)y = yzx - yxz - zxy + xzy

[z, [x, y]] = z(xy - yx) - (xy - yx)z = zxy - zyx - xyz + yxz

よって、
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0
証明終