命題
A を可換体 K 上の必ずしも結合的とは限らない代数とする。
D_1, D_2 を A の微分(>>212)とする。
D = D_1D_2 - D_2D_1 とおく。

このとき D は A の微分である。

証明
D(ab) = D_1(D_2(ab)) - D_2(D_1(ab))
= D_1(D_2(a)b + aD_2(b)) - D_2(D_1(a)b + aD_1(b))

= (D_1D_2(a))b + D_2(a)D_1(b) + D_1(a)D_2(b) + aD_1D_2(b)
- (D_2D_1(a))b - D_1(a)D_2(b) - D_2(a)D_1(b) - aD_2D_1(b)

= (D_1D_2(a))b - (D_2D_1(a))b + aD_1D_2(b) - aD_2D_1(b)

= (D_1D_2(a) - D_2D_1(a))b + a(D_1D_2(b) - D_2D_1(b))

= D(a)b + aD(b)
証明終