E を実数体 R 上の n 次元Hilbert空間(過去スレ010の600)とする。

E の元 x に対して ♭(x) ∈ E^* を ♭(x)(y) = <x, y> により定義する。
♭: E → E^* は線型空間としての同型である。
♭ の逆写像を♯と書く。

e_1, ..., e_n を E の基底とする。
e^1, ..., e^n をその双対基底とする。

g_(i, j) = <e_i, e_j>, 1 ≦ i, j ≦ n とおく。

♭(e_j)(e_i) = <e_j, e_i> = <e_i, e_j> = g_(i, j)

よって、♭ の (e_1, ..., e_n) と (e^1, ..., e^n) に関する表現行列は
(g_(i, j)) である。

(g_(i, j)) の逆行列を (g^(i, j)) と書く。

♯(e^j) = Σg^(i, j)e_i
よって、
♯(e^j)(e^i) = g^(i, j)

x を E の元とし、その (e_1, ..., e_n) に関する成分を (x^1, ..., x^n) とする。
即ち、x = Σx^ie_i である(添え字の上げ下げに注意)。

y を E^* の元とし、その (e^1, ..., e^n) に関する成分を (y_1, ..., y_n) とする。
即ち、y = Σy_ie^i である。

♭(x)_i = ♭(x)(e_i) = Σx^j♭(e_j)(e_i) = Σx^j<e_j, e_i> = Σg_(i, j)x^j
(添え字の上げ下げに注意)

♯(y)^i = Σy_j♯(e^j)(e^i) = Σg^(i, j)y_j