定義
M を n 次元多様体とする。
M の点 p に対して T_p(M) を p のおける M の接空間とする。
M の各点 p に T(r, s)(T_p(M)) (>>198) の元 t_p を対応させる写像 t を考える。

U を M の座標近傍で x_1, ..., x_n をその局所座標系とする。
p ∈ U のとき、(∂/∂x_1)_p, ..., (∂/∂x_n)_p は T_p(M) の基底である。
(dx_1)_p, ..., (dx_n)_p はその双対基底である。

>>201より、t は U 上で
Σt(i_1, ..., i_r, j_1, ..., j_s)∂/∂x_(i_1)※...※∂/∂x_(i_r)※dx_(j_1)※...※dx_(j_s)
と一意に書ける。
各 t(i_1, ..., i_r, j_1, ..., j_s) を t の座標 x_1, ..., x_n に関する成分と呼ぶ。

各 t(i_1, ..., i_r, j_1, ..., j_s) が U 上で C^k 級のとき、t を C^k 級の
(r, s) 型テンソル場という。

特に断らない限りテンソル場は C^∞級とする。

(1, 0) 型テンソル場をベクトル場と呼ぶ。

(0, s) 型のテンソル場 t で M の各点 p で t_p が対称テンソル(>>202)のとき
t を (0, s) 型の対称テンソル場という。
同様に (0, s) 型の交代テンソル場、(r, 0) 型の対称テンソル場、
(r, 0) 型の交代テンソル場が定義される。

(0, s) 型の交代テンソル場は s 次の微分形式(過去スレ014の731)に他ならない。