過去スレ014の832は F が複素Banach空間でも同様に成り立つ：

命題
R を実数体とする。
E を K 上のノルム空間とし、F を K 上のBanach空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F をC^1級写像とする。

x, y ∈ U とする。
任意の t ∈ [0, 1] に対して ψ(t) = (1 - t)x + ty ∈ U とする。

このとき、
f(y) - f(x) = (∫[0, 1] df(ψ(t)) dt) (y - x)

証明
>>19より、
f(y) - f(x) = ∫[0, 1] df(ψ(t))(y - x) dt

過去スレ014の830より、この右辺は (∫[0, 1] df(ψ(t)) dt) (y - x)
証明終