ここで、テンソル場の定義を述べるため準備をする。

定義
E を実数体 R 上の有限次元線型空間とする。
E^* をその双対空間とする。

整数 r, s ≧ 0 に対して
T(r, s)(E) = L((E^*)^r, E^s, R) とおく。

ここで、L((E^*)^r, E^s, R) は r 個の E^* と s 個の E から R への
R-多重線型写像全体を表す。
ただし、T(0, 0)(E) = R とする。

T(r, s)(E) の元は (r, s) 型のテンソルと呼ばれる。