補題
M と N を向き付けられた n 次元多様体(過去スレ014の734)とし、
σ: M → N を向きを保存する(>>170)微分同相(>>171)とする。
(U_α, ψ_α), α ∈ A を M の正の座標近傍系(過去スレ014の736)とする。

このとき、(σ(U_α), ψ_ασ^(-1)), α ∈ A は N の正の座標近傍系である。

証明
(σ(U_α), ψ_ασ^(-1)), α ∈ A が N の座標近傍系であることは明らかである。
よって、各 α ∈ A に対して (U_α, ψ_α) が正の座標近傍であることを証明すればよい。

p ∈ U_α のとき ψ_α(p) = (x_1(p), ..., x_n(p)) と書く。
q ∈ σ(U_α) のとき ψ_ασ^(-1)(q) = (y_1(q), ..., y_n(q)) と書く。

p ∈ U_α のとき (y_1(σ(p)), ..., y_n(σ(p))) = (x_1(p), ..., x_n(p))
である。

θ を N の体積要素(過去スレ014の734)とする。
σ(U_α) 上で θ = g(y)dy_1Λ...Λdy_n とする。
>>169より、U_α 上で σ^*(θ) = (gσ)det(J_σ)dx_1Λ...Λdx_n となる。

U_α 上で det(J_σ) = 1 であるから
σ^*(θ) = (gσ)dx_1Λ...Λdx_n となる。

仮定より、σ^*(θ) は M の体積要素であり、(x_1, ..., x_n) は正であるから
過去スレ014の736より、U_α 上で gσ ＞ 0 である。
よって、σ(U_α) 上で g ＞ 0 である。
よって、過去スレ014の736より、(y_1, ..., y_n) は正である。
証明終