命題
M を向き付けられた n 次元多様体(過去スレ014の734)とする。
(U, ψ) と (V, φ) を M の二つの正の局所座標(過去スレ014の736)とする。
ω を M 上の n 次の連続な微分形式でコンパクトな台(>>175)をもち、
Supp(ω) ⊂ U ∩ V とする。

このとき、
∫[ψ] ω = ∫[φ] ω となる。

証明
φψ^(-1): ψ(U ∩ V) → φ(U ∩ V) は微分同相であることに注意する。

∫[φ] ω = ∫[φ(U)] (φ^(-1))^*(ω|U)
= ∫[φ(U ∩ V)] (φ^(-1))^*(ω|U ∩ V)
= ∫[ψ(U ∩ V)] (φψ^(-1))^*(φ^(-1))^*(ω|U ∩ V) ← >>185
= ∫[ψ(U ∩ V)] (ψ^(-1))^*φ^*(φ^(-1))^*(ω|U ∩ V) ← >>186
= ∫[ψ(U ∩ V)] (ψ^(-1))^*(ω|U ∩ V)
= ∫[ψ(U)] (ψ^(-1))^*(ω|U)
= ∫[ψ] ω
証明終