命題
M と N と S を多様体とし、ψ: M → N, φ: N → S を可微分写像とする。
ω を N 上の C^r 級(0 ≦ r ≦ ∞)の k 次の微分形式とする。

このとき、

(φψ)^*(ω) = ψ^*((φ^*(ω)))

となる。

証明
p ∈ M に対して q = ψ(p), r = φ(q) とおく。
合成写像の微分公式(>>183)より、v_1, ..., v_k ∈ T_p(M) に対して

ψ^*((φ^*(ω)))_p(v_1, ..., v_k)
= φ^*(ω)_q(dψ(v_1), ..., dψ(v_k))
= ω_r(dφd(ψ(v_1)), ..., dφ(dψ(v_k)))
= ω_r(d(φψ)(v_1), ..., d(φψ)(v_1))
= (φψ)^*(ω)_p(v_1, ..., v_k)

よって、
ψ^*((φ^*(ω)))_p = (φψ)^*(ω)_p
よって、
(φψ)^*(ω) = ψ^*((φ^*(ω)))
証明終