命題(R^n における微分形式の積分の変数変換公式)
U, V ⊂ R^n を空でない開集合とし ψ: U → V を向きを保存する(>>170)
微分同相(>>171)とする。
ω を V 上の n 次の連続な微分形式でコンパクトな台(>>175)をもつとする。

このとき、ψ^*(ω) もコンパクトな台をもち、

∫[V] ω = ∫[U] ψ^*(ω)

となる。

証明
V 上で ω = f(x)dx_1Λ...Λdx_n とする。
>>169より、U 上で ψ^*(ω) = (fψ)det(J_ψ)dx_1Λ...Λdx_n となる。

ψ は微分同相であるから U の各点 p で det(J_ψ(p)) ≠ 0 である。
よって、Supp(ψ^*(ω)) = Supp(fψ) = ψ^(-1)(Supp(f)) はコンパクトである。

>>176より、
∫[U] ψ^*(ω) = ∫[U] (fψ)det(J_ψ) dx_1...dx_n

一方、積分の変数変換公式(>>141)より
∫[ψ(U)] f(x) dx = ∫[U] f(ψ(x)) |det(J_ψ(x))| dx
となる。

一方、>>169より、U 上で ψ^*(dx_1Λ...Λdx_n) = det(J_ψ)dx_1Λ...Λdx_n
であり、ψ は向きを保存するから U 上で det(J_ψ) ＞ 0 である。
よって、
∫[ψ(U)] f(x) dx = ∫[U] f(ψ(x)) det(J_ψ(x)) dx
即ち、
∫[V] ω = ∫[U] ψ^*(ω)
証明終