命題(合成写像の微分)
M と N と S を多様体とし、ψ: M → N, φ: N → S を可微分写像とする。

M の任意の点 p で
d(φψ)_p = (d(φ)_ψ(p))(dψ_p)
となる。

証明
v を p における M の接ベクトルとする。
f: U → R を φψ(p) の開近傍 U ⊂ S で定義されたC^∞級の関数とする。

d(φ)_ψ(p)(dψ_p(v))(f) = dψ_p(v)(fφ) = v(fφψ)
他方、
d(φψ)_p(v)(f) = v(fφψ)

よって、
d(φψ)_p(v) = d(φ)_ψ(p)(dψ_p(v))

よって、
d(φψ)_p = (d(φ)_ψ(p))(dψ_p)
証明終