過去スレ014の821は F が複素Banach空間でも同様に成り立つ：

命題
K を実数体または複素数体とする。
F を K 上のBanach空間とする。
U を R の開集合とし、f: U → F をC^1級とする。
[a, b] ⊂ U のとき

f(b) - f(a) = ∫[a, b] f’(t) dt

証明
g(t) = ∫[a, t] f’(x) dx - f(t) とおく。

>>15より、g’(t) = 0 である。
よって、>>17より、g(t) は [a, b] 上で定数である。
特に、g(b) = g(a) である。
即ち、
f(b) - f(a) = ∫[a, b] f’(t) dt
証明終