命題
M と N を向き付けられた n 次元多様体(過去スレ014の734)とし、
ψ: M → N を可微分写像とする。
θ を N の体積要素(過去スレ014の734)とする。

ψ^*(θ) が M の体積要素であるためには ψ が局所微分同相(>>173)と
なることが必要十分である。

証明
p ∈ M に対して、(x_1, ..., x_n) と (y_1, ..., y_n) をそれぞれ p と ψ(p) の
近傍 U, V における局所座標系とする。

V 上で θ = g(y)dy_1Λ...Λdy_n とする。

>>169より、ψ^*(θ) = (gψ)det(J_ψ)dx_1Λ...Λdx_n となる。

ψ が局所微分同相であれば、det(J_ψ)(p) ≠ 0 であるから
ψ^*(θ)_p ≠ 0 である。

逆に ψ^*(θ)_p ≠ 0 であれば、det(J_ψ)(p) ≠ 0 となる。
逆写像定理(>>67)より ψ は局所微分同相である。
証明終