M と N を多様体とし、ψ: M → N を可微分写像とする。
n = dim M = dim N とする。
p ∈ M に対して、(x_1, ..., x_n) と (y_1, ..., y_n) をそれぞれ p と ψ(p) の
近傍 U, V における局所座標系とする。

ω を N 上の C^r 級(0 ≦ r ≦ ∞)の n 次の微分形式とする。

V 上で ω = h(y_1, ..., y_n)dy_1Λ...Λdy_n とする。

>>166, >>168より、
ψ^*(ω) = (hψ)ψ^*(dy_1Λ...Λdy_n) = (hψ)ψ^*(dy_1)Λ...Λψ^*(dy_n)
= (hψ)Σ(∂ψ_1/∂x_j_1)...(∂ψ_n/∂x_j_n)dx_j_1Λ...Λdx_j_n
= (hψ)det(J_ψ)dx_1Λ...Λdx_n

ここで、J_ψ は ψ の Jacobi 行列(>>115)である。