命題(Lebesgue積分の変数変換公式: det(J_ψ(p)) = 0 を許す場合)
R を実数体とする。
n を任意の整数 ≧ 1 とする。
U ⊂ R^n を空でない開集合とし、ψ: U → R^n をC^1級の単射とする。
S = {x ∈ U; det(dψ(x)) = 0} とおく。

f : ψ(U) → [-∞, +∞] を関数とする。
f がLebesgue可積分であるためには、f(ψ(x))|det(J_ψ(x))| が U で
Lebesgue可積分であることが必要十分である。
このとき、
∫[ψ(U)] f(y) dy = ∫[U] f(ψ(x)) |det(J_ψ(x))| dx
となる。

証明
V = U - S とおく。
x → det(dψ(x)) は連続であるから S は U の閉集合である。
よって、V は U の開集合であるから R^n の開集合でもある。

>>152より
f が ψ(V) でLebesgue可積分であるためには、f(ψ(x))|det(J_ψ(x))| が V で
Lebesgue可積分であることが必要十分であり、
このとき、
∫[ψ(V)] f(y) dy = ∫[V] f(ψ(x)) |det(J_ψ(x))| dx
となる。

(続く)