>>156の続き

δ を十分小さくとって、0 ＜ δ ＜ r と仮定してよい。
k - 1 ≦ r/δ ＜ k となる整数 k ≧ 1 をとる。
r/k ＜ δ ≦ r/(k - 1)

C の各辺を k 等分して C を k^n 個の小立方体 C_i (1 ≦ i ≦ k^n) に分割する。
C_i の辺の長さは r/k であり、その体積は (r/k)^n である。

x, y ∈ C_i のとき |x - y| ＜ δ である。
C_i ∩ S ≠ φ となる各 C_i に対して x_i ∈ C_i ∩ S を選ぶ。

det(df(x_i)) = 0 であるから dim df(x_i)(R^n) ≦ n - 1 である。
よって、df(x_i)(R^n) ⊂ H_i となる R^n の部分空間 H_i で dim H_i = n - 1 と
なるものがある。
M = sup{|df(x)|; x ∈ C} とおく。
ここで、|df(x)| = sup{|df(x)(y)|; |y| ≦ 1, y ∈ R^n} である。
f は C^1級だから |df(x)| は x の連続関数であり、
C はコンパクトだから M ＜ +∞ である。

x ∈ C_i のとき y = f(x_i) + df(x_i)(x - x_i) とおくと、
y ∈ f(x_i) + H_i であり、
|y - f(x_i)| = |df(x_i)(x - x_i)| ≦ M|x - x_i| ＜ Mδ
よって、y は アフィン超平面 f(x_i) + H_i に含まれ、f(x_i) を中心とする
体積 (2Mδ)^(n-1) の(n-1)次元立方体 D_i に含まれる。

x ∈ C_i のとき |f(x) - y| ＜ ε|x - x_i| ＜ εδ
よって、f(C_i) は n 次元直方体 G_i = (D_i)×[-εδ, εδ] に含まれる。
この直方体の体積は εM^(n-1)(2δ)^n である。

(続く)