命題(Sardの定理の特別な場合)
R を実数体とする。
n を任意の整数 ≧ 1 とする。
U ⊂ R^n を空でない開集合とし、f: U → R^n をC^1級とする。
S = {x ∈ U; det(df(x)) = 0} とおく。

このとき f(S) はLebesgue零集合である。

証明
n = 1 のときはほとんど自明であるから n ≧ 2 と仮定する。

R^n の点 x = (x_1, .., x_n) に対してそのノルムを
|x| = sup{|x_i|, i = 1, ..., n} と書く。

U は U に含まれる n 次元閉立方体の可算個の合併になる。
よって、U に含まれる任意の n 次元閉立方体 C に対して
f(C ∩ S) がLebesgue零集合であることを証明すればよい。

C の辺の長さを r とする。
各 x ∈ C に対して、ψ は x で微分可能であるから
任意の ε ＞ 0 に対して δ_x ＞ 0 があり、
y ∈ U, |y - x| ＜ δ_x なら |f(y) - f(x) - df(x)(y - x)| ＜ ε|y - x|
となる。
C はコンパクトであるから、任意の ε ＞ 0 に対して δ ＞ 0 があり、
x ∈ C, y ∈ U, |y - x| ＜ δ なら
|f(y) - f(x) - df(x)(y - x)| ＜ ε|y - x|
となる。

(続く)