命題(Lebesgue積分の変数変換公式)
R を実数体とする。
n を整数 ≧ 1 とする。
U ⊂ R^n を空でない開集合とし、ψ: U → R^n をC^r級(r ≧ 1)の単射で、
すべての p ∈ U で det(J_ψ(p)) ≠ 0 とする。
ここで、J_ψ(p) は ψ の Jacobi 行列(>>115)である。

f : ψ(U) → [-∞, +∞] をLebesgue可積分な関数とすると、
f(ψ(x))|det(J_ψ(x))| もLebesgue可積分であり、
∫[ψ(U)] f(y) dy = ∫[U] f(ψ(x)) |det(J_ψ(x))| dx
となる。

証明
>>140より、ψ(U) は開集合であり、ψ^(-1) はC^r級である。
よって、ψ: U → ψ(U) は位相同型である。
よって、ψ は固有写像(過去スレ011の767)である。
μ を R^n におけるLebesgue測度とする。
μ|U を μ の U への制限(過去スレ010の110)とする。
ν = |det(J_ψ)|(μ|U) を μ|U と U 上の連続関数 |det(J_ψ)| の
積(過去スレ010の588)とする。
ψ(ν) を ψ による ν の像(過去スレ011の765)とする。
積分の変数変換公式(>>141)は、μ|ψ(U) = ψ(ν) を意味する。
過去スレ011の823より、
f : ψ(U) → [-∞, +∞] を(μ|ψ(U))可積分な関数とすると、
f(ψ(x)) はν可積分であり、
∫[ψ(U)] f(y) dy = ∫[U] f(ψ(x)) dν(x) である。

過去スレ011の598より、f(ψ(x))|det(J_ψ(x))| は(μ|U)可積分であり、
∫ f(ψ(x)) dν(x) = ∫[U] f(ψ(x)) |det(J_ψ(x))| dx となる。
よって、
∫[ψ(U)] f(y) dy = ∫[U] f(ψ(x)) |det(J_ψ(x))| dx となる。
証明終