補題
>>141は ψ が原始的(>>135)であれば成り立つ。

証明
>>141において x ∈ R - ψ(U) のとき f(x) = 0 と定義することにより
f の定義域を R^n に広げても f は連続である。
よって、>>141の等式は
∫[R^n] f(y) dy = ∫[R^n] f(ψ(x)) |det(J_ψ(x))| dx
と書けることに注意する。

ψ(x) = (g(x), x_2, ..., x_n) として一般性を失わない。

det(J_ψ(x)) = ∂g/∂x_1 である。

積分の順序交換(過去スレ010の272)と１変数の積分の変数変換の公式より

∫ f(ψ(x)) |det(J_ψ(x))| dx
= ∫ f(ψ(x))|∂g/∂x_1| dx
= ∫ f(ψ(x_1, ..., x_n))|∂g/∂x_1| dx_1...dx_n
= ∫dx_2...dx_n∫ f(ψ(x_1, ..., x_n))|∂g/∂x_1| dx_1
= ∫dx_2...dx_n∫ f(x_1, ..., x_n) dx_1
= ∫ f(x) dx
証明終