補題
R を実数体とする。
n を整数 ≧ 1 とする。
U ⊂ R^n を空でない開集合とし、Ψ: U → R^n をC^r級(r ≧ 1)の単射で、
すべての p ∈ U で det(J_Ψ(p)) ≠ 0 とする。
Φ: Ψ(U) → R^n をC^r級(r ≧ 1)の単射で、
すべての q ∈ Ψ(U) で det(J_Φ(q)) ≠ 0 とする。

>>141がΨとΦで成り立てば、ΦΨでも成り立つ。

証明
f: ΦΨ(U) → R を連続写像で Supp(f) はコンパクトであるとする。

∫[ΦΨ(U)] f(z) dz = ∫[Ψ(U)] f(Φ(y)) |det(J_Φ(y))| dy
= ∫[U] f(Φ(Ψ(x))) |det(J_Φ(Ψ(x)))||det(J_Ψ(x)))| dx

一方、合成関数の微分規則(過去スレ014の803)より、
J_ΦΨ(x) = J_Φ(Ψ(x))J_Ψ(x)

よって、
|det(J_Φ(Ψ(x)))||det(J_Ψ(x)))|
= |det(J_Φ(Ψ(x)))det(J_Ψ(x)))|
= |det(J_ΦΨ(x))|

よって、
∫[ΦΨ(U)] f(z) dz = ∫[U] f(ΦΨ(x)) |det(J_ΦΨ(x))| dx
証明終