次の命題をいくつかのステップに分けて証明する。

命題(積分の変数変換公式)
R を実数体とする。
n を整数 ≧ 1 とする。
U ⊂ R^n を空でない開集合とし、ψ: U → R^n をC^r級(r ≧ 1)の単射で、
すべての p ∈ U で det(J_ψ(p)) ≠ 0 とする。
ここで、J_ψ(p) は ψ の Jacobi 行列(>>115)である。
>>140より、ψ(U) は開集合であり、ψ^(-1) はC^r級である。

f: ψ(U) → R を連続写像で Supp(f) はコンパクトであるとする。
ψ は位相同型であるから Supp(fψ) はコンパクトである。

このとき、
∫[ψ(U)] f(y) dy = ∫[U] f(ψ(x)) |det(J_ψ(x))| dx
となる。