>>136の続き

F_1 は 2) と 3) を満たす。

1 ≦ i ≦ n - 1 のとき、F_i が 2) と 3) を満たすとする。

d(F_i)(0) は可逆であるから (∂h_k/∂x_i)(0) ≠ 0, i ≦ k ≦ n となる k がある。
G_i(x) = (x_1, ..., x_(i-1), h_k(x), x_(i+1), ..., x_n) とおく。
G_i(0) = 0 であり、det(dG_i(0)) = (∂h_k/∂x_i)(0) ≠ 0 である。
よって、逆写像定理(>>67)より、
0 ∈ U_i ⊂ V_i となる開集合 U_i があり、
V_(i+1) = f(U_i) は開集合で、G_i は U_i 上で単射である。
さらに、G_i|U_i の逆写像 H_i はC^1級である。

i = k のとき B_i を恒等写像とし、
i ≠ k のとき B_i = R_(i, k) (>>133) とする。
F_(i+1): V_(i+1) → K^n を
y ∈ V_(i+1) のとき F_(i+1)(y) = B_iF_iH_i(y)
により定義する。

F_(i+1) がC^1級であることは明らか。
F_(i+1)(0) = B_iF_iH_i(0) = B_iF_i(0) = B_i(0) = 0
d(F_(i+1))(0) = dB_i(0)dF_i(0)dH_i(0) ≠ 0
よって、F_(i+1) は 2) を満たす。
x ∈ U_i のとき
F_(i+1)G_i(x) = B_iF_i(x) = (x_1, ..., x_(i-1), h_k(x), ...)

(続く)