補題(Principles of mathematical analysis by Rudin)
K を実数体または複素数体とする。
n ≧ 1 を整数とする。
K^n 上の任意のノルム(例えば |(x_1, ..., x_n)| = sup{|x_i|; i = 1, ..., n))
に関して K^n をノルム空間と見なす。
U を K^n の開集合で 0 ∈ U とする。
f: U → K^n をC^1級写像で、f(0) = 0 かつ df(0) は可逆であるとする。

このとき、0 のある開近傍上で
f = B_1...B_(n-1)G_n...G_1
と書ける。
ここで B_i は恒等写像または互換写像(>>133)であり、
G_i は、0 の開近傍 U_i で定義され K^n に値をとる原始的なC^1級写像で、
G_i(0) = 0 かつ d(G_i)(0) は可逆である。

証明
以下の 1) から 3) の条件を満たす関数 F_1, ..., F_n を i に関する帰納法で
定義する。

1) F_1 = f

2) 0 の開近傍 V_i があり、 F_i: V_i → K^n はC^1級であり、
F_i(0) = 0 かつ d(F_i)(0) は可逆である。

3) F_i = (x_1, ..., x_(i-1), h_i(x), ..., h_n(x)) と書ける。
ここで、h_k, k = i, ..., n は V_k 上の K に値をとる関数である。

(続く)