>>128の続き

よって、
det(∂(G_1, ..., G_(m-1))/∂(y_1, ..., y_(m-1)))(a, b_1, ..., b_(m-1)) ≠ 0
である。

よって、
帰納法の仮定より、V×(W_2) ⊂ V_1 となる a の開近傍 V と (b_1, ..., b_(m-1))
の開近傍 W_2 及び C^r級の ψ: V → W_2 が存在し、

① ψ(a) = (b_1, ..., b_(m-1))
② x ∈ V のとき G(x, ψ(x)) = 0
③ (x, z) ∈ V×(W_2) のとき G(x, z) = 0 なら z = ψ(x)

x ∈ V のとき、(x, ψ(x)) ∈ V×(W_2)
V×(W_2) ⊂ V_1 だから h(x, ψ(x)) が意味を持つ。
よって、W = (W_2)×(W_1) とおき、g : V → W を
g(x) = (ψ(x), h(x, ψ(x))) により定義する。

ψ と h はC^r級であるから g はC^r級である。

(続く)