>>127の続き

det(∂(f_1, ..., f_(m-1))/∂(y_1, .., y_(k-1), y_(k+1), ., y_m)) を記述を
簡単にするため Δ(k)と書く。
よって、
det(∂(G_1, ..., G_(m-1))/∂(y_1, ..., y_(m-1)))
= det(σ_1, ..., σ_(m-1)) + Σ(-1)^(m+k-1)(∂h/∂y_k)Δ(k)

ここで Σ は k = 1, ..., m-1 に関する和である。

>>97より、(∂h/∂y_k) = -(∂f_m/∂y_k)/(∂f_m/∂y_m)

よって、
(∂f_m/∂y_m)det(∂(G_1, ..., G_(m-1))/∂(y_1, ..., y_(m-1)))
= det(σ_1, ..., σ_(m-1)) + Σ(-1)^(m+k)(∂f_m/∂y_k)Δ(k)

他方、det(∂(f_1, ..., f_m)/∂(y_1, ..., y_m)) を第 m 行で展開すると、

(∂f_m/∂y_m)det(σ_1, ..., σ_(m-1)) + Σ(-1)^(m+k)(∂f_m/∂y_k)Δ(k)

ここで Σ は k = 1, ..., m-1 に関する和である。

よって、
(∂f_m/∂y_m)det(∂(G_1, ..., G_(m-1))/∂(y_1, ..., y_(m-1)))
= det(∂(f_1, ..., f_m)/∂(y_1, ..., y_m))

仮定により、
det(∂(f_1, ..., f_m)/∂(y_1, ..., y_m))(a, b) ≠ 0
かつ
(∂(f_m)/∂y_m)(a, b) ≠ 0
である。
(続く)