>>126の続き

行列式は列の多重線型写像であり、同じ列が二つあると行列式は 0 となる。
よって、
det(∂(G_1, ..., G_(m-1))/∂(y_1, ..., y_(m-1)))
= det(σ_1 + d_1σ_m, ..., σ_(m-1) + d_(m-1)σ_m)
= det(σ_1, ..., σ_(m-1))
+ (d_1)det(σ_m, σ_2, ..., σ_(m-1))
+ (d_2)det(σ_1, σ_m, σ_3, ..., σ_(m-1))
.
.
.
+ (d_k)det(σ_1, ..., σ_(k-1), σ_m, σ_(k-2), ..., σ_(m-1))
.
.
.
+ (d_(m-1))det(σ_1, ..., σ_(m-2), σ_m)

ここで、
(d_k)det(σ_1, ..., σ_(k-1), σ_m, σ_(k+1), ..., σ_(m-1)) の k 列を
(m-1) に移動すると、

(d_k)det(σ_1, ..., σ_(k-1), σ_m, σ_(k+1), ..., σ_(m-1))
= (-1)^(m+k-1)(d_k)det(σ_1, ..., σ_(k-1), σ_(k+1), ..., σ_(m-1), σ_m)

この右辺は
(-1)^(m+k-1)(d_k)det(∂(f_1, .., f_(m-1))/∂(y_1, .., y_(k-1), y_(k+1), ., y_m))である。

(続く)