>>125の続き

関数 G: V_1 → R^(m-1) を
その第 i 成分 G_i: V_1 → R, i = 1, ..., m-1 を
G_i(x, y_1, ..., y_(m-1)) = f_i(x, y_1, ..., y_(m-1), h(x, y_1, ..., y_(m-1))
として定義する。

G に対して帰納法の仮定を適用するため、
det(∂(G_1, ..., G_(m-1))/∂(y_1, ..., y_(m-1)))(a, b_1, ..., b_(m-1)) ≠ 0
を示そう。
これは、合成関数の微分公式と行列式の変形を使う。
行列を実際に書けば簡単だが、式だけだと分かりにくい。
式で説明するが読者は行列を書いて確かめてもらいたい。

1 ≦ i, j ≦ m - 1 のとき、
∂G_i/∂y_j = ∂f_i/∂y_j + (∂f_i/∂y_m)(∂h/∂y_j) である。

1 ≦ j ≦ m のとき、
縦ベクトル (∂f_1/∂y_j, ..., ∂f_(m-1)/∂y_j)^t を σ_j と書く。
ここで、^t は (1, m-1)行列の転置(transpose)を表す。
1 ≦ j ≦ m - 1 のとき、∂h/∂y_j = d_j と書く。

行列 ∂(G_1, ..., G_(m-1))/∂(y_1, ..., y_(m-1)) の j 列は
σ_j + d_jσ_m である。
よって、
∂(G_1, ..., G_(m-1))/∂(y_1, ..., y_(m-1))
= (σ_1 + d_1σ_m, ..., σ_(m-1) + d_(m-1)σ_m)

(続く)