>>124の続き

過去スレ014の817より、R^m の標準基底に関する (d_2)f(a, b) の行列は
((∂(f_i)/∂y_j)(a, b)), 1 ≦ i, j ≦ m である。
これは、>>117の記号で (∂(f_1, ..., f_m)/∂(y_1, ..., y_m))(a, b) である。
(d_2)f(a, b) は全単射であるから
det(∂(f_1, ..., f_m)/∂(y_1, ..., y_m))(a, b) ≠ 0 である。

よって、
(∂(f_m)/∂y_1)(a, b), ..., (∂(f_m)/∂y_m)(a, b) のどれかは 0 でない。
(∂(f_m)/∂y_m)(a, b) ≠ 0 と仮定して一般性を失わない。

>>95より、((a, b_1, ..., b_(m-1)), b_m) ∈ (V_1)×(W_1) ⊂ U となる
(a, b_1, ..., b_(m-1)) の開近傍 V_1 と
b_m の開近傍 W_1 及び C^r級の h: V_1 → W_1 が存在し、

1) h(a, b_1, ..., b_(m-1)) = b_m

2) (x, y_1, ..., y_(m-1)) ∈ V_1 のとき
f_m(x, y_1, ..., y_(m-1), h(x, y_1, ..., y_(m-1))) = 0

3) (x, y_1, ..., y_(m-1), y_m) ∈ (V_1)×(W_1) のとき
f_m(x, y_1, ..., y_(m-1), y_m) = 0 なら y_m = h(x, y_1, ..., y_(m-1))
となる。

(続く)