定理(陰関数定理)
R を実数体とする。
n と m を整数 ≧ 1 とする。
R^n と R^m はそれぞれ任意のノルムによるノルム空間(過去スレ006の561)と見なす。
U ⊂ (R^n)×(R^m) を開集合とし、f: U → R^m をC^r級(r ≧ 1)とする。
(a, b) ∈ U において f(a, b) = 0 とし、
第２偏微分(過去スレ014の833) (d_2)f(a, b): R^m → R^m が全単射とする。

このとき、(a, b) ∈ V×W ⊂ U となる a の開近傍 V と b の開近傍 W
及び C^r級の g: V → W が存在し、

1) g(a) = b
2) x ∈ V のとき f(x, g(x)) = 0
3) (x, y) ∈ V×W のとき f(x, y) = 0 なら y = g(x)

証明
m に関する帰納法を使う。
m = 1 の場合は>>95で証明されている。
m ≧ 2 とし、m - 1 の場合は定理が成り立つとする。

f の第 i 成分を f_i とする。
即ち、(x, y) ∈ U のとき、
f(x, y) = (f_1(x, y), ..., f_m(x, y)) である。

(続く)