>>840
＞ 0,1,0,1,0,1,0,1,0……みたいな周期数列だったら(1+(-1)^n)/2などと
0,0,1,0,0,1,… だと、（ 1の3乗根のうち1でないものをωとして）
(1^n + ω^n + ω^2n)/3　と書ける。
周期がNなら 1のN乗根を使って同様にできます。
複素数を使いたくなかったら三角関数でも書けます。

>>809 の１つの解法
まず b[n+3] - b[n] =0 …①　を満たす数列を考える。
（定係数線形斉次な差分方程式なので）
b[n] = α^n　を仮定して代入すると
α^3 - α = 0
これを解いて　α = 1,ω,ω^2
よって、 c_0, c_1, c_2 を任意の定数として
　b[n] = c_0 1^n + c_1 ω^n + c_2 ω^2n …②　は①を満たす。
あとは b[1]=2, b[2]=5/2, b[3]=17/4 …③ を満たすように c_0,c_1,c_2 を定める
（②③から、c_0,c_1,c_2を未知数とする連立一次方程式にして解く）。

微妙に高校範囲外のような気もしてきた。だとすると失礼しました。
ついでということでもう少し話を広げると、
一般に周期 N の数列 x[n] は、
1のN乗根 e^(i2πk/N) を公比とする等比数列をN個足した形
x[n] = 納k=0～N-1] c_k e^(i2πkn/N)　で書ける。
離散フーリエ展開そのものだね。
三角関数でも書ける： x[n] = 納k=0～floor(N/2)] (a_k cos(2πkn/N) + b_k sin(2πkn/N) )