P(x)を(x-1)^2(x+2)で割ったときのあまりは2次以下の式だから、
P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c　と置ける
ってやり方のほうがなじみがあると思う

ここで、P(x)を(x-1)^2で割ったときの余りが4x-5であり、
(x-1)^2(x+2)Q(x)は(x-1)^2で割り切れるので、ax^2+bx+cを(x-1)^2で割った余りが4x-5となる
つまり、ax^2+bx+c=(x-1)^2*R(x)+4x-5
両辺のx^2の係数を比較して、R(x)=a
よって、P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+a(x-1)^2+4x-5

このへんの議論を省略したのだろう
慣れてくると>>790みたいな感じでほぼ自明だしな