>>250
部分積分で
I_n=π^(2n)-2n*2(n-1)*I_(n-1)
両辺(-1)^n/(2n)!かけて
(-1)^n*I_n/(2n)!=(-1)^n*π^(2n)/(2n)!+(-1)^(n-1)*I_(n-1)/(2n-2)!
(-1)^n*I_n/(2n)!=A_nとおいて移項すると
A_n-A_(n-1)=(-1)^n*π^(2n)/(2n)!
Σ[1,∞]{A_n-A_(n-1)}=Σ[1,∞]{(-1)^n*π^(2n)/(2n)!}
ここで右辺は求める極限であり
左辺=lim[n→∞]{A_n-A_1}
またI_n/(2n)!=∫[0→π](x^(2n)*sinx)dx)/(2n)!<∫[0→π]x^(2n)dx/(2n)!=π^(2n+1)/(2n+1)!→0(n→∞)
ゆえにlim[n→∞]A_n=0
求める極限は-A_1=∫[0→π]x^2*sinxdx/2