＞>>197さんはp(a)=p(b)=0も境界条件とおっしゃっていますが

言っていません。そのようなa,bに対してu(a)=u(b)=0というような類の
境界条件が成立することを要請しているのだから、境界条件が必要なくなる
というのは自己矛盾である、このことはまったく変わっていません。