>>673です。皆さん詳しい解説やご指摘をしてくださってありがとうございました。
しかし、途中までしか理解することができませんでした。
解答を丸写しにはしたくないので、もう少しだけ付き合って頂けないでしょうか？

【理解できたところ】
>>676さんの書かれた解説10行目までは理解できました。

【疑問点】
・>>676さんの書かれた解説2行目
＞△OAM∽△MBO∽△OMO'でこれらはいずれも直角三角形
△MBOは△MBO'ということでよろしいですか？

・>>676さんの書かれた解説10行目
＞(r+s)^2=r^2+s^2+AM^2+BM^2
この式からr^2＋s^2を引くと(r+s)^2=AM^2+BM^2になることはわかりましたが、
なぜ2rs=AM^2+BM^2になるのかがわかりません。

・>>676さんの書かれた解説13行目
＞(4)を代入して移行するとAM^2-2AM・BM+BM^2=0
そもそも移項の過程がよくわかりません。

【補足】
>>684,>>687
実はこの証明問題の次に、線分AB(AMとBM)の長さを求めなさいという問題があります。
そちらは解くことができて、私も線分ABの長さを使って証明をしてしまおうかとも考えていました……。
とても参考になりました。ありがとうございました。