>>673
円Oの半径をｒ、円O'の半径をsとする。OA=r、O'B=s
△OAM∽△MBO∽△OMO'でこれらはいずれも直角三角形
OM^2+O'M^2=(r+s)^2　…(1)
OM^2=OA^2+AM^2 =r^2+AM^2…(2)
O'M^2=OB^2+BM^2=s^2+BM^2…(3)
OA:AM=MB:BO'より
OA・BO'=rs=AM・MB…(4)

(1)の左辺が(2)+(3)の左辺に等しいから右辺同士も等しく
(r+s)^2=r^2+s^2+AM^2+BM^2
両辺からr^2+s^2を引くと
2rs=AM^2+BM^2
(4)を代入して移行するとAM^2-2AM・BM+BM^2=0
よって(AM-BM)^2=0よりAM=BM