Σ[n=1,∞]{(-1)^(n+1)}/(2n-1) =π/4を示すのに
I[n]=∫(tanx)^(2n)dxとして
I[n]+I[n+1]=1/(2n+1)を利用して解いていく問題を経験したのですが

これと少し似た級数で
Σ[n=1,∞]{(-1)^(n+1)}/(n) =log2　を示すのに
積分漸化式を考えてアプローチする方法ってありますか?

|∫[0.1][{1-(-x)^n}/(1+x)] dx - ∫[0.1]{dx/(1+x)} | <1/(n+1)
を示して導く方法なら知っていますが
積分漸化式からアプローチしていく方法があれば教えていただけると幸いです