abc=x^3とおく.
abc+1/abc+(a+b+c)k=x^3+1/x^3+(a+b+c)k

x=a=b=cのときに最小値をとるので、
(a+b+c)の最小値は、3xのときにとるとしてよい.
すなわち、x^3+1/x^3+(a+b+c)k＞＝x^3+1/x^3+3kx

f(x)=x^3+1/x^3+3kx（x>0）とおいたとき、f(x)の最小値がx=1/√3のときにとるならば
f(x)はx＞０で連続であることから、f'(1/√3)=０となるはずである.
つまり
f'(x)=3x^6+3kx^4-3/x^4 より、
f'(1/√3)=1/9+k/3-3=0
⇒1+3k-27=0
∴k=26 /3

実際にグラフを描いて考えると、確かにx=1/√3のときに最小値をとる.
よって、k=26/3


まだ駄目ですかね…