補題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
T: E → F と S: E → F をコンパクト(>>531)な線型写像とする。

このとき、T + S もコンパクトである。

証明
T はコンパクトであるから、
E の任意の有界な点列 (x_n), n = 1, 2, ... に対して
その部分列 (x_n_m), m = 1, 2, ... が存在して
(T(x_n_m)), m = 1, 2, ... は収束する。

S はコンパクトであるから、
(x_n_m), m = 1, 2, ... の部分列 (x_n_m_k), k = 1, 2, ... が存在して
(S(x_n_m_k)), k = 1, 2, ... は収束する。

収束する点列 (T(x_n_m)), m = 1, 2, ... の部分列
(T(x_n_m_k)), k = 1, 2, ... は収束する。

よって、((T + S)(x_n_m_k)) = (T(x_n_m_k) + S(x_n_m_k)), k = 1, 2, ... は
収束する。
よって、T + S はコンパクトである。
証明終